przekształcenie trygonometryczne

[Pietras2001]

Wykazać, że jeżeli:
\(\displaystyle{ a \sin x+b\sin 3x+c\sin 4x=0}\) to \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).
Edit:
Rzeczywiście w treści jest dla każdego \(\displaystyle{ x}\). Ale i tak nie wiem jak to udowodnić.

[bosa_Nike]

Teza jest nieprawdziwa przy tak sformułowanym zadaniu, poszukaj kontrprzykładu.
Gdyby w założeniu było jeżeli dla każdego \(\displaystyle{ x}\)..., to to byłaby już prawda.
Wystarczy zauważyć, że wtedy w szczególności założenie musi być spełnione dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}.}\)

[Dilectus]

Coś jest nie tak z tym zadaniem. Ustalmy, że

\(\displaystyle{ a=b=c=1}\)

Mamy wówczas funkcję

\(\displaystyle{ y=\sin x+\sin 2x+\sin 4x}\)

Jest to funkcja okresowa o okresie \(\displaystyle{ 2\pi}\)

i w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0, 2\pi\right]}\) ma siedem miejsc zerowych

Weźmy \(\displaystyle{ a=b=3=3}\)

wtedy


\(\displaystyle{ y=3\sin x+3\sin 2x+3\sin 4x}\)

Jest to funkcja okresowa o okresie \(\displaystyle{ 2\pi}\)

i w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0, 2\pi\right]}\) ma dziewięć miejsc zerowych.

Jak widać, niekoniecznie współczynniki \(\displaystyle{ a, b, c}\) muszą się zerować jednocześnie, żeby Twoje równanie było spełnione.

[bosa_Nike]

Edit:
Rzeczywiście w treści jest dla każdego \(\displaystyle{ x}\). Ale i tak nie wiem jak to udowodnić.

Wykorzystaj moją wskazówkę. Z dwóch pierwszych podstawień uzyskujesz równość wszystkich współczynników. Połącz to teraz z trzecim podstawieniem.

[a4karo]

Różniczkując równianie mnóstwo razy dostajemy, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) musi być \(\displaystyle{ a+9^nb+16^nc=0}\). Stąd już łatwo wyciągnąć stosowne wnioski.