Podaj najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ \sin x+ \sqrt{3}\cos x}\)
Nie mam pojęcia jak rozwiązać zadanie,próbowałem stosować wzór na dodawanie cosinusa i sinusa i sprawdzać na wykresie możliwie najmniejsze wartości,ale nie wychodzi.W podręczniku odpowiedź wynosi -2
Najmniejsza wartość z dodawania sinusa i cosinusa
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 8 kwie 2019, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
Najmniejsza wartość z dodawania sinusa i cosinusa
Ostatnio zmieniony 8 kwie 2019, o 14:28 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Najmniejsza wartość z dodawania sinusa i cosinusa
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ \sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left( \frac 1 2\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =2\sin\left( x+\frac \pi 3\right)}\)
Dalej łatwo: jaki jest zbiór wartości funkcji sinus (dla argumentów rzeczywistych)?
\(\displaystyle{ \sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left( \frac 1 2\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =2\sin\left( x+\frac \pi 3\right)}\)
Dalej łatwo: jaki jest zbiór wartości funkcji sinus (dla argumentów rzeczywistych)?
-
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 2 lut 2017, o 10:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stęszew
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Najmniejsza wartość z dodawania sinusa i cosinusa
Premislav zrobił to bardzo ładnie, ja natomiast wytoczyłem działo
Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x) = \sin{x} + \sqrt{3}\cos{x}}\)
Chcemy ją zminimalizować (lub zmaksymalizować) , więc liczymy jej pochodną i przyrównujemy do zera:
\(\displaystyle{ f'(x) = \cos{x} - \sqrt{3}\sin{x} = 0}\)
\(\displaystyle{ \cos{x} = \sqrt{3}\sin{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos{x}}{\sin{x}} = \ctg{x} = \sqrt{3}}\)
Odczytując z tablic jest to spełnione dla \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{6} + k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}\)
Podstawmy w takim razie \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{6}}\)
\(\displaystyle{ f(\frac{\pi}{6}) = \sin{\frac{\pi}{6}} + \sqrt{3}\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} + \sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2}\)
Wynik wyszedł \(\displaystyle{ 2}\), a powinien wyjść \(\displaystyle{ -2}\). To jednak łatwo naprawić biorąc inny x jak na przykład \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{6}}\)
Dzieje się tak ponieważ, co drugi element minimalizuje daną funkcję, a pomiędzy nimi ją maksymalizuje
Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x) = \sin{x} + \sqrt{3}\cos{x}}\)
Chcemy ją zminimalizować (lub zmaksymalizować) , więc liczymy jej pochodną i przyrównujemy do zera:
\(\displaystyle{ f'(x) = \cos{x} - \sqrt{3}\sin{x} = 0}\)
\(\displaystyle{ \cos{x} = \sqrt{3}\sin{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos{x}}{\sin{x}} = \ctg{x} = \sqrt{3}}\)
Odczytując z tablic jest to spełnione dla \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{6} + k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}\)
Podstawmy w takim razie \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{6}}\)
\(\displaystyle{ f(\frac{\pi}{6}) = \sin{\frac{\pi}{6}} + \sqrt{3}\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} + \sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2}\)
Wynik wyszedł \(\displaystyle{ 2}\), a powinien wyjść \(\displaystyle{ -2}\). To jednak łatwo naprawić biorąc inny x jak na przykład \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{6}}\)
Dzieje się tak ponieważ, co drugi element minimalizuje daną funkcję, a pomiędzy nimi ją maksymalizuje
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Najmniejsza wartość z dodawania sinusa i cosinusa
HelperNES, żeby to było poprawne, to trzeba uzasadnić jeszcze, że pochodna zmienia znak w punktach stacjonarnych. Zerowanie się pochodnej nie jest warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum (na przykład funkcja \(\displaystyle{ x^3}\) w zerze).