Najmniejsza wartość z dodawania sinusa i cosinusa

[Mateusz Giergowski]

Podaj najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ \sin x+ \sqrt{3}\cos x}\)

Nie mam pojęcia jak rozwiązać zadanie,próbowałem stosować wzór na dodawanie cosinusa i sinusa i sprawdzać na wykresie możliwie najmniejsze wartości,ale nie wychodzi.W podręczniku odpowiedź wynosi -2

[Premislav]

Zauważmy, że
\(\displaystyle{ \sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left( \frac 1 2\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =2\sin\left( x+\frac \pi 3\right)}\)
Dalej łatwo: jaki jest zbiór wartości funkcji sinus (dla argumentów rzeczywistych)?

[HelperNES]

Premislav zrobił to bardzo ładnie, ja natomiast wytoczyłem działo

Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x) = \sin{x} + \sqrt{3}\cos{x}}\)

Chcemy ją zminimalizować (lub zmaksymalizować) , więc liczymy jej pochodną i przyrównujemy do zera:

\(\displaystyle{ f'(x) = \cos{x} - \sqrt{3}\sin{x} = 0}\)

\(\displaystyle{ \cos{x} = \sqrt{3}\sin{x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\cos{x}}{\sin{x}} = \ctg{x} = \sqrt{3}}\)

Odczytując z tablic jest to spełnione dla \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{6} + k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}\)

Podstawmy w takim razie \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{ f(\frac{\pi}{6}) = \sin{\frac{\pi}{6}} + \sqrt{3}\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} + \sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2}\)

Wynik wyszedł \(\displaystyle{ 2}\), a powinien wyjść \(\displaystyle{ -2}\). To jednak łatwo naprawić biorąc inny x jak na przykład \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{6}}\)

Dzieje się tak ponieważ, co drugi element minimalizuje daną funkcję, a pomiędzy nimi ją maksymalizuje

[MrCommando]

HelperNES, żeby to było poprawne, to trzeba uzasadnić jeszcze, że pochodna zmienia znak w punktach stacjonarnych. Zerowanie się pochodnej nie jest warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum (na przykład funkcja \(\displaystyle{ x^3}\) w zerze).