równanie trygonometryczne

[Pietras2001]

Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \sin \left( 2x\right) +2=\left( 1+\cos 2x\right) \cdot \left( \sin x+\cos x\right)}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \sin \left( 2x\right) +2=\left( 1+\cos 2x\right) \cdot \left( \sin x+\cos x\right)}\)

A cóż to jest? Wypadałoby napisać polecenie.

JK

[Premislav]

Zauważmy, że
\(\displaystyle{ \sin(2x)+1=(\sin x+\cos x)^2}\) oraz \(\displaystyle{ \cos (2x)=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}\), podstawmy więc \(\displaystyle{ a=\sin x+\cos x, \ b=\cos x-\sin x}\) i zauważmy, że spełniona jest zależność \(\displaystyle{ a^2+b^2=2}\) (jedynka trygonometryczna). Otrzymujemy więc układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2=2 \\ a^2+1=a(1+ab)\end{cases}}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ b}\) musi być dodatnie, możemy więc napisać \(\displaystyle{ b=\sqrt{2-a^2}}\).
Wstawiamy to do drugiego równania i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^2-a+1=a^2\sqrt{2-a^2}}\)
To równanie podnosimy stronami do kwadratu i dostajemy po przekształceniach następujące równanie wielomianowe:
\(\displaystyle{ a^6-a^4-2a^3+3a^2-2a+1=0}\)
Zauważamy, że jedynka jest pierwiastkiem podwójnym (np. dlatego, że zeruje zarówno ten wielomian, jak i jego pochodną), więc po podzieleniu wielomianów (np. pisemnym) możemy zapisać równoważnie
\(\displaystyle{ (a-1)^2(a^4+2a^3+2a^2+1)=0\\ (a-1)^2\left( a^2(a+1)^2+a^2+1\right)=0}\)
Drugi czynnik jest oczywiście dodatni dla \(\displaystyle{ a\in \RR}\), stąd \(\displaystyle{ a=1}\), wtedy też \(\displaystyle{ b=1}\) (gdyż \(\displaystyle{ b}\) musi być dodatnie). Otrzymaliśmy więc, że równanie jest spełnione, gdy
\(\displaystyle{ \cos x-\sin x=1 \wedge \cos x+\sin x=1}\), a stąd łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ \cos x=1, \sin x=0}\), zatem \(\displaystyle{ x=2k\pi, \ k\in \ZZ}\).-- 31 mar 2019, o 20:55 --Natomiast przyznam szczerze, że rozwiązanie tego za pomocą samej trygonometrii na pierwszy rzut oka (na drugi i kolejne też) przerasta raczej moje jakże skromne możliwości.

[MrCommando]

Premislav , a gdyby po prostu skorzystać z podstawowych wzorów trygonometrycznych (to znaczy klasyki typu sinus i cosinus podwojonego kąta i gdzieś tam między wierszami wzór na różnicę sześcianów) i przekształcić to równoważnie w ten sposób:

\(\displaystyle{ \sin 2x+2=\left(1+\cos 2x\right)\left(\sin x+ \cos x\right) \\
\sin 2x+2=2\cos^2 x\left(\sin x+ \cos x\right) \\
\sin 2x+2=2\cos^3 x+2\cos^2 x \sin x \\
2\cos^3 x+2\cos^2 x \sin x -2\sin x\cos x-2=0 \\
2\left(\cos^3 x -1\right)+2\sin x \cos x\left(\cos x -1\right)=0\\
\left(\cos x - 1\right)\left(2 \cos ^2 x +2 \cos x +2 +2\sin x \cos x\right)=0\\
\left(\cos x - 1\right) \left( \left(\sqrt{2}\cos x +\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sin x+\cos x\right)^2+\frac{1}{2}\right)=0}\)

Jak spojrzymy na lewą stronę równości, którą otrzymaliśmy, to widać, że drugi nawias jest zawsze dodatni, zatem jedyne co może i musi zachodzić, to \(\displaystyle{ \cos x-1=0}\), czyli \(\displaystyle{ x=2k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\).

[Premislav]

MrCommando, dobre, na to nie wpadłem (tj. próbowałem jakoś tak przekształcać, ale nic rozsądnego nie zauważyłem, dlatego zdecydowałem się przenieść to zadanie, a przynajmniej moje rozwiązanie, ze świata trygonometrii do świata czystej algebry).