Nierówność z funkcjami złożonymi

[Rokush]

Hejka, mam do pokazania taką nierówność:
\(\displaystyle{ \cos ^{3}(x) \ge \cos ^{2}(\sin(x)) \cdot \cos (\tg(x))}\)
dla \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0,1\right\rangle}\)
I starałem się to udowodnić przez pochodne ale pochodna prawej strony jest dość masakryczna, próbowałem też rozwijać sinusa i tangensa w szeregi też ale po rozwinięciu później cosinusa wychodziły masakryczne wielomiany 12 stopnia i nic dalej nie szło zrobić

[Premislav]

Trudna sprawa. Przepiszmy tę nierówność w równoważnej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{\cos (x)}{\cos^2(\sin x)} \ge \frac{\cos(\tg x)}{\cos^2(x)}}\)
Po lewej mamy pochodną funkcji \(\displaystyle{ \tg(\sin x)}\), a po prawej pochodną funkcji \(\displaystyle{ \sin(\tg x)}\), może to coś da, ale nie myślałem nad tym dłużej.

[a4karo]

Wykorzystaj trzy fakty:
1. \(\displaystyle{ \ln\cos(x)}\) jest wklęsła.
2. Nierówność Jensena
3. Pokaż, że \(\displaystyle{ x<\frac{2\sin x+\tg x}{3}}\)