trygonometria matura jedynka trygonometryczna

[turbolak]

Hejka, powiedzcie mi jak rozwiązać to, bo mam pustkę w głowie..
Wiem, że trzeba zastosować jedynkę ale w jaki sposób?

\(\displaystyle{ \ctg \alpha = -\frac{12}{5}}\)

\(\displaystyle{ \alpha}\) - rozwarty

Oblicz: \(\displaystyle{ \cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}\)

Wiem że:

\(\displaystyle{ \ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}\)

[Premislav]

Dla \(\displaystyle{ \alpha\neq k\pi, k\in \ZZ}\) mamy
\(\displaystyle{ \cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha= \\=1-\frac{2}{\frac{1}{\sin^2\alpha}}= \\=1-\frac{2}{ \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} }=\\=1-\frac{2}{1+\ctg^2\alpha}}\)
Teraz podstaw wartość kotangensa z treści zadania.

[turbolak]

Dla \(\displaystyle{ \alpha\neq k\pi, k\in \ZZ}\) mamy
\(\displaystyle{ \cos ^2\alpha-\sin ^2\alpha=1-2\sin ^2\alpha= \\=1-\frac{2}{\frac{1}{\sin ^2\alpha}}= \\=1-\frac{2}{ \frac{\sin ^2\alpha+\cos ^2\alpha}{\sin ^2\alpha} }=\\=1-\frac{2}{1+\ctg ^2\alpha}}\)
Teraz podstaw wartość kotangensa z treści zadania.

Wyszło:
\(\displaystyle{ \frac{17}{7}}\)
więc chyba dobrze.

Trudno do tego dojść ale rozumiem wszystko poza jednym.
Dlaczego u Ciebie \(\displaystyle{ 1-\frac{2}{ \frac{\sin ^2\alpha+\cos ^2\alpha}{\sin ^2\alpha} } =1-\frac{2}{ 1+\ctg ^2\alpha}}\)

Skąd wiem, że \(\displaystyle{ \frac{\sin ^2\alpha+\cos ^2\alpha}{\sin ^2\alpha}=1+\ctg ^2\alpha}}\)

[Premislav]

Skąd wiem, że \(\displaystyle{ cos^2\alpha=1+ctg^2\alpha}}\)

Znikąd, bo to zazwyczaj (ba, nawet zawsze) nieprawda. Zresztą niczego takiego nie pisałem.
U mnie się nie pojawia wyrażenie \(\displaystyle{ 1-\frac{2}{ \cos^2\alpha}}\), jest natomiast
\(\displaystyle{ 1-\frac{2}{ \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} } =1-\frac{2}{ 1+\ctg^2\alpha}}\)
Po prostu
\(\displaystyle{ \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=1+\ctg^2\alpha}\)

[turbolak]

Skąd wiem, że \(\displaystyle{ cos^2\alpha=1+ctg^2\alpha}}\)

Znikąd, bo to zazwyczaj (ba, nawet zawsze) nieprawda. Zresztą niczego takiego nie pisałem.
U mnie się nie pojawia wyrażenie \(\displaystyle{ 1-\frac{2}{ \cos^2\alpha}}\), jest natomiast
\(\displaystyle{ 1-\frac{2}{ \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} } =1-\frac{2}{ 1+\ctg^2\alpha}}\)
Po prostu
\(\displaystyle{ \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=1+\ctg^2\alpha}\)

Tak, tak wiem.
Od razu po zobaczeniu jaką głupotę napisałem to zedytowałem posta
Teraz rozumiem, serdeczne dzięki

[a4karo]

Zważywszy, że \(\displaystyle{ 0<\cos^2x<1}\) i \(\displaystyle{ 0<\sin^2 x<1}\) to \(\displaystyle{ 17/7}\) wydaje się trochę optymistycznym wynikiem.

No chyba że planujesz karierę w Ministerstwie Finansów

[kruszewski]

Można zauważyć, że: \(\displaystyle{ \frac{12}{5} \sin \alpha = -\cos \alpha}\)

i w kolejnym wierszu, że: \(\displaystyle{ \frac{12}{5} \sqrt{1 - \cos ^2 \alpha } = - \cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ 1-\cos ^2 \alpha = \frac{25}{144} \cos ^2 \alpha}\)

\(\displaystyle{ \cos ^2 \alpha\left(1+ \frac{25}{144} \right) = 1}\)

\(\displaystyle{ \cos ^2 \alpha = \frac{144}{169} = \frac{12^2}{13^2}}\)

Dalej jest już z górki

\(\displaystyle{ | \alpha | = 22, 61926...^o}\)

[Premislav]

i w kolejnym wierszu, że: \(\displaystyle{ \frac{12}{5} \sqrt{1 - \cos ^2 \alpha } = - \cos \alpha}\)

A skąd mamy wiedzę, że \(\displaystyle{ \sin \alpha\ge 0}\)? W przeciwnym razie równość
\(\displaystyle{ \sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}}\) jest niepoprawna. Wprawdzie po pierwsze w kontekście tego zadania możemy tak przyjąć bez straty ogólności, a po drugie nie wpływa to istotnie na rozwiązanie, no ale to trzeba napisać.

[kruszewski]

Pan Premislav pisze: " no ale to trzeba napisać."

Tylko, że wtedy daje się kompletne rozwiązanie, a mnie nie o takie chodziło, a o nakierowanie na "sposób" i pewnie nie dość dobrze to zrobiłem.

[a4karo]

Premisłąw przez tego bana chyba się mocno zesrożył na forum, bo czepia się okrutnie.
Otóż w zadaniu jest napisane, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest rozwarty, a zatem sinus tegoż jest ujemny.

[pesel]

Otóż w zadaniu jest napisane, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest rozwarty, a zatem sinus tegoż jest ujemny.

[a4karo]

Jasne, że dodatni.

[kruszewski]

Rysunek ob(roz)jaśniający:

Ukryta treść:    

[Premislav]

Dobra, to ja nie doczytałem założenia na temat \(\displaystyle{ \alpha}\) z treści, pewnie dlatego, że nie jest ono konieczne do rozwiązania zadania, bardzo przepraszam.

Natomiast do personalnych przytyków zapraszam na PW.

[kruszewski]

"założenia na temat \(\displaystyle{ \alpha}\)"

Zakładamy, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest ...
Założenie, że \(\displaystyle{ \alpha}\) nie jest ...

Pozdrawiam Panów.