układ równań

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

układ równań

Post autor: Bratower »

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}\sin x\cdot\sin y=\frac{2}{3}\\\cos x\cdot \cos y=m\end{cases}}\)
ma rozwiązanie.
_________________
Moje rozwiązanie
odejmuje stronami
\(\displaystyle{ \sin x\cdot\sin y-\cos x\cdot\cos y=\frac{2}{3}-m\\\sin(x-y)=\frac{2}{3}-m\\-1\le\frac{2}{3}-m\le 1\\
m\in \left\langle -\frac{1}{3};\frac{5}{3}\right\rangle}\)

_______
Odp poprawna \(\displaystyle{ m\in\left\langle -\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right\rangle}\)
Jak to możliwe, że ja pomijam jeden przypadek prawdopodobnie dodatnie stronami?
Czy da się to rozwiązać możliwie innym sposobem, który uwzględni wszystkie przypadki?
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: układ równań

Post autor: bartek118 »

Odejmując stronami uzyskujesz jedno równanie i w konsekwencji otrzymasz więcej rozwiązań. Musisz przekształcać układ w taki sposób, aby nadal mieć dwa niezależne równania.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: układ równań

Post autor: Jan Kraszewski »

Zauważ, że dodanie stronami nie jest przejściem równoważnym, a efekt tego jest taki, że warunek, który dostajesz na końcu jest warunkiem koniecznym istnienia rozwiązania, ale nie wiesz nic na temat tego, czy jest to warunek wystarczający.

Jeżeli tego "nie czujesz" to zauważ np., że \(\displaystyle{ \cos x\cdot \cos y=m}\) ma rozwiązanie wyłącznie dla \(\displaystyle{ m\in\left\langle -1,1\right\rangle}\) (masz zatem kolejny warunek konieczny...).

Tu trzeba ciut więcej pokombinować.

JK
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

układ równań

Post autor: kerajs »

Bratower pisze: \(\displaystyle{ \sin x\cdot\sin y-\cos x\cdot\cos y=\frac{2}{3}-m\\ \sin(x-y)=\frac{2}{3}-m}\)
Cóż to za herezje?

\(\displaystyle{ \cos x \cos y-\sin x \sin y=\cos (x+y)=m- \frac{2}{3}\\
\cos x \cos y+\sin x \sin y=\cos (x-y)=m+ \frac{2}{3}}\)
Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

układ równań

Post autor: Bratower »

kerajs pisze:
Bratower pisze: \(\displaystyle{ \sin x\cdot\sin y-\cos x\cdot\cos y=\frac{2}{3}-m\\ \sin(x-y)=\frac{2}{3}-m}\)
Cóż to za herezje?

\(\displaystyle{ \cos x \cos y-\sin x \sin y=\cos (x+y)=m- \frac{2}{3}\\
\cos x \cos y+\sin x \sin y=\cos (x-y)=m+ \frac{2}{3}}\)
Faktycznie, źle popatrzyłem na wzór
Ale i tak o jednym rozwiązaniu bym zapomniał
ODPOWIEDZ