Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}\sin x\cdot\sin y=\frac{2}{3}\\\cos x\cdot \cos y=m\end{cases}}\)
ma rozwiązanie.
_________________
Moje rozwiązanie
odejmuje stronami
\(\displaystyle{ \sin x\cdot\sin y-\cos x\cdot\cos y=\frac{2}{3}-m\\\sin(x-y)=\frac{2}{3}-m\\-1\le\frac{2}{3}-m\le 1\\
m\in \left\langle -\frac{1}{3};\frac{5}{3}\right\rangle}\)
_______
Odp poprawna \(\displaystyle{ m\in\left\langle -\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right\rangle}\)
Jak to możliwe, że ja pomijam jeden przypadek prawdopodobnie dodatnie stronami?
Czy da się to rozwiązać możliwie innym sposobem, który uwzględni wszystkie przypadki?
układ równań
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: układ równań
Odejmując stronami uzyskujesz jedno równanie i w konsekwencji otrzymasz więcej rozwiązań. Musisz przekształcać układ w taki sposób, aby nadal mieć dwa niezależne równania.
-
- Administrator
- Posty: 34233
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: układ równań
Zauważ, że dodanie stronami nie jest przejściem równoważnym, a efekt tego jest taki, że warunek, który dostajesz na końcu jest warunkiem koniecznym istnienia rozwiązania, ale nie wiesz nic na temat tego, czy jest to warunek wystarczający.
Jeżeli tego "nie czujesz" to zauważ np., że \(\displaystyle{ \cos x\cdot \cos y=m}\) ma rozwiązanie wyłącznie dla \(\displaystyle{ m\in\left\langle -1,1\right\rangle}\) (masz zatem kolejny warunek konieczny...).
Tu trzeba ciut więcej pokombinować.
JK
Jeżeli tego "nie czujesz" to zauważ np., że \(\displaystyle{ \cos x\cdot \cos y=m}\) ma rozwiązanie wyłącznie dla \(\displaystyle{ m\in\left\langle -1,1\right\rangle}\) (masz zatem kolejny warunek konieczny...).
Tu trzeba ciut więcej pokombinować.
JK
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
układ równań
Cóż to za herezje?Bratower pisze: \(\displaystyle{ \sin x\cdot\sin y-\cos x\cdot\cos y=\frac{2}{3}-m\\ \sin(x-y)=\frac{2}{3}-m}\)
\(\displaystyle{ \cos x \cos y-\sin x \sin y=\cos (x+y)=m- \frac{2}{3}\\
\cos x \cos y+\sin x \sin y=\cos (x-y)=m+ \frac{2}{3}}\)
- Bratower
- Użytkownik
- Posty: 103
- Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 64 razy
- Pomógł: 2 razy
układ równań
Faktycznie, źle popatrzyłem na wzórkerajs pisze:Cóż to za herezje?Bratower pisze: \(\displaystyle{ \sin x\cdot\sin y-\cos x\cdot\cos y=\frac{2}{3}-m\\ \sin(x-y)=\frac{2}{3}-m}\)
\(\displaystyle{ \cos x \cos y-\sin x \sin y=\cos (x+y)=m- \frac{2}{3}\\
\cos x \cos y+\sin x \sin y=\cos (x-y)=m+ \frac{2}{3}}\)
Ale i tak o jednym rozwiązaniu bym zapomniał