Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)+\sin^2\left(2x\right)=\sin^2\left(3x\right)}\)
rozwiązywałem te zadanie dwa razy i za każdym razem inny wynik, nwm jaki popełniłem błąd:
\(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)+\sin^2\left(2x\right)=\sin^2\left(3x\right) \\
\sin\left(3x\right)=3\sin\left(x\right)-4\sin^3\left(x\right) \\
\left(\sin\left(x\right)\right)^2+\left(2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)\right)^2=\left(3\sin\left(x\right)-4\sin^3\left(x\right)\right)^2 \\
\sin^2\left(x\right)+4\sin^2\left(x\right)\cos^2\left(x\right)=9\sin^2\left(x\right)-24\sin^4\left(x\right)+16\sin^6\left(x\right) \\
16\sin^6\left(x\right)-20\sin^4\left(x\right)+4\sin^2\left(x\right)=0 \\
4\sin^2\left(x\right)\left(4\sin^4\left(x\right)-5\sin^2\left(x\right)+4\right)=0}\)
Niech \(\displaystyle{ t=\sin^2\left(x\right)}\) wtedy \(\displaystyle{ 4t\left(4t^2-5t+4\right)=0}\)
delta mniejsza od zera więc jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)=0}\)
\(\displaystyle{ x=k\pi}\)
a drugie rozwiązanie też nieprawidłowe to:
\(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)+\sin^2\left(2x\right)=\sin^2\left(3x\right) \\
\sin^2\left(2x\right)=\sin^2\left(3x\right)-\sin^2\left(x\right) \\
\sin^2\left(2x\right)\left(\sin\left(3x\right)-\sin\left(x\right)\right)\left(\sin\left(3x\right)+\sin\left(x\right)\right)\\
\sin\left(3x\right)-\sin\left(x\right)=2\cos\left(2x\right)\sin\left(x\right) \\
\sin\left(3x\right)+\sin\left(x\right)=2\sin\left(2x\right)\cos\left(x\right) \\
\sin^2\left(2x\right)=\left(4\sin\left(x\right)\cos^2\left(x\right)\right)\left(2\sin\left(x\right)-4\sin^3\left(x\right)\right) \\
16\sin^4\left(x\right)\cos^2\left(x\right)=4\sin^2\left(x\right)\cos^2\left(x\right) \\
\sin^2\left(x\right)\cos^2\left(x\right)\left(4\sin^2\left(x\right)-1\right)=0}\)
\(\displaystyle{ x=k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{6}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)
pisałem ten kod 20 min i fajnie by było żebym chociaż to zrozumiał co zrobiłem źle.
gdzie popełniłem błąd (trygonometria)
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 11 maja 2018, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łomża
- Podziękował: 16 razy
gdzie popełniłem błąd (trygonometria)
Ostatnio zmieniony 25 lut 2019, o 20:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdzieś
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 11 razy
Re: gdzie popełniłem błąd (trygonometria)
\(\displaystyle{ \\ 16\sin^6\left(x\right)-20\sin^4\left(x\right)+4\sin^2\left(x\right)=0 \\ 4\sin^2\left(x\right)\left(4\sin^4\left(x\right)-5\sin^2\left(x\right)+4\right)=0}\)
powinno byc:
\(\displaystyle{ 4\sin^2\left(x\right)\left(4\sin^4\left(x\right)-5\sin^2\left(x\right)+1\right)=0}\)
powinno byc:
\(\displaystyle{ 4\sin^2\left(x\right)\left(4\sin^4\left(x\right)-5\sin^2\left(x\right)+1\right)=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 9 mar 2018, o 21:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 3 razy
Re: gdzie popełniłem błąd (trygonometria)
Przekształcamy równanie do postaci:
\(\displaystyle{ \sin^2(x) -\sin^2(3x)+\sin^2(2x)= 0}\)
\(\displaystyle{ [\sin(2x) -\sin(3x)][\sin(2x) +\sin(3x)] +\sin^2(2x) = 0.}\)
Stosujemy wzory na sumę i różnicę sinusów.
Zapisujemy \(\displaystyle{ \sin^2(2x) = 4\sin^2(x)\cos^2(x)}\)
Zamieniamy
\(\displaystyle{ \cos(2x) = 1 -2\sin^2(x)}\)
Wymnażamy lewą stronę równania.
Wyciągamy \(\displaystyle{ 4\sin^2(x)\cos^2(x) = \sin^2(2x)}\) przed nawias.
\(\displaystyle{ \sin^2(x) -\sin^2(3x)+\sin^2(2x)= 0}\)
\(\displaystyle{ [\sin(2x) -\sin(3x)][\sin(2x) +\sin(3x)] +\sin^2(2x) = 0.}\)
Stosujemy wzory na sumę i różnicę sinusów.
Zapisujemy \(\displaystyle{ \sin^2(2x) = 4\sin^2(x)\cos^2(x)}\)
Zamieniamy
\(\displaystyle{ \cos(2x) = 1 -2\sin^2(x)}\)
Wymnażamy lewą stronę równania.
Wyciągamy \(\displaystyle{ 4\sin^2(x)\cos^2(x) = \sin^2(2x)}\) przed nawias.
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 11 maja 2018, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łomża
- Podziękował: 16 razy
Re: gdzie popełniłem błąd (trygonometria)
czyli wtedy z mojego drugiego podejścia do tego zadania:
\(\displaystyle{ 4\sin^2\left(x\right)\left(4\sin^4\left(x\right)-5\sin^2\left(x\right)+1\right)}\)
\(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)=0}\) lub \(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)=\frac{1}{4}}\) lub \(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)=1}\)
\(\displaystyle{ \sin\left(x\right)=0}\) dla \(\displaystyle{ x=k\pi}\)
\(\displaystyle{ \sin\left(x\right)=\pm\frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{6}+2k\pi}\) i dla \(\displaystyle{ x=\pm\frac{5}{6}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \sin\left(x\right)=\pm 1}\) dla \(\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)
a rozwiązanie w kiełbasie to: \(\displaystyle{ x=k\cdot\frac{\pi}{2}}\) lub \(\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi}\).
\(\displaystyle{ 4\sin^2\left(x\right)\left(4\sin^4\left(x\right)-5\sin^2\left(x\right)+1\right)}\)
\(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)=0}\) lub \(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)=\frac{1}{4}}\) lub \(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)=1}\)
\(\displaystyle{ \sin\left(x\right)=0}\) dla \(\displaystyle{ x=k\pi}\)
\(\displaystyle{ \sin\left(x\right)=\pm\frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{6}+2k\pi}\) i dla \(\displaystyle{ x=\pm\frac{5}{6}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \sin\left(x\right)=\pm 1}\) dla \(\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)
a rozwiązanie w kiełbasie to: \(\displaystyle{ x=k\cdot\frac{\pi}{2}}\) lub \(\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi}\).
Ostatnio zmieniony 25 lut 2019, o 21:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: gdzie popełniłem błąd (trygonometria)
\(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)+\sin^2\left(2x\right)=\sin^2\left(3x\right)}\)
\(\displaystyle{ \sin^2(x)+4\sin^2(x)\cos^2(x)=\left( 3\sin(x)-4\sin^3(x)\right)^2}\)
\(\displaystyle{ \sin^2(x)+4\sin^2(x)\left(1- \sin^2(x)\right) =\left( 3\sin(x)-4\sin^3(x)\right)^2= \\ 9\sin^2(x)- 24\sin^4(x)+16\sin^6(x)}\)
\(\displaystyle{ 16\sin^6(x)- 20\sin^4(x)+4\sin^2(x)=0 \ |:4}\)
\(\displaystyle{ 4\sin^6(x)- 5\sin^4(x)+\sin^2(x)=0}\)
Nowa zmienna: \(\displaystyle{ y=\sin^2(x)}\)
\(\displaystyle{ y^2(4y^4-5y^2+1)=0}\)
\(\displaystyle{ y_1=0 \ \vee \ 4y^4-5y^2+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=9}\)
\(\displaystyle{ y_2= \frac{5-3}{8} = \frac{1}{4}\quad x_3= \frac{5+3}{8}=1}\)
Wracamy do starych zmiennych:
\(\displaystyle{ \sin^2(x)=0 \ \vee \ \sin^2(x)= \frac{1}{4} \ \vee \ \sin^2(x)=1}\)
\(\displaystyle{ \sin(x)=0 \ \vee \ \sin(x)= -\frac{1}{2} \ \vee \ \sin(x)= \frac{1}{2} \ \vee \ \sin(x)=-1 \ \vee \ \sin(x)=1}\)
a dalej to już proste.
\(\displaystyle{ \sin^2(x)+4\sin^2(x)\cos^2(x)=\left( 3\sin(x)-4\sin^3(x)\right)^2}\)
\(\displaystyle{ \sin^2(x)+4\sin^2(x)\left(1- \sin^2(x)\right) =\left( 3\sin(x)-4\sin^3(x)\right)^2= \\ 9\sin^2(x)- 24\sin^4(x)+16\sin^6(x)}\)
\(\displaystyle{ 16\sin^6(x)- 20\sin^4(x)+4\sin^2(x)=0 \ |:4}\)
\(\displaystyle{ 4\sin^6(x)- 5\sin^4(x)+\sin^2(x)=0}\)
Nowa zmienna: \(\displaystyle{ y=\sin^2(x)}\)
\(\displaystyle{ y^2(4y^4-5y^2+1)=0}\)
\(\displaystyle{ y_1=0 \ \vee \ 4y^4-5y^2+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=9}\)
\(\displaystyle{ y_2= \frac{5-3}{8} = \frac{1}{4}\quad x_3= \frac{5+3}{8}=1}\)
Wracamy do starych zmiennych:
\(\displaystyle{ \sin^2(x)=0 \ \vee \ \sin^2(x)= \frac{1}{4} \ \vee \ \sin^2(x)=1}\)
\(\displaystyle{ \sin(x)=0 \ \vee \ \sin(x)= -\frac{1}{2} \ \vee \ \sin(x)= \frac{1}{2} \ \vee \ \sin(x)=-1 \ \vee \ \sin(x)=1}\)
a dalej to już proste.