gdzie popełniłem błąd (trygonometria)

[ibialy2]

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)+\sin^2\left(2x\right)=\sin^2\left(3x\right)}\)
rozwiązywałem te zadanie dwa razy i za każdym razem inny wynik, nwm jaki popełniłem błąd:
\(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)+\sin^2\left(2x\right)=\sin^2\left(3x\right) \\
\sin\left(3x\right)=3\sin\left(x\right)-4\sin^3\left(x\right) \\
\left(\sin\left(x\right)\right)^2+\left(2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)\right)^2=\left(3\sin\left(x\right)-4\sin^3\left(x\right)\right)^2 \\
\sin^2\left(x\right)+4\sin^2\left(x\right)\cos^2\left(x\right)=9\sin^2\left(x\right)-24\sin^4\left(x\right)+16\sin^6\left(x\right) \\
16\sin^6\left(x\right)-20\sin^4\left(x\right)+4\sin^2\left(x\right)=0 \\
4\sin^2\left(x\right)\left(4\sin^4\left(x\right)-5\sin^2\left(x\right)+4\right)=0}\)
Niech \(\displaystyle{ t=\sin^2\left(x\right)}\) wtedy \(\displaystyle{ 4t\left(4t^2-5t+4\right)=0}\)
delta mniejsza od zera więc jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)=0}\)

\(\displaystyle{ x=k\pi}\)


a drugie rozwiązanie też nieprawidłowe to:
\(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)+\sin^2\left(2x\right)=\sin^2\left(3x\right) \\
\sin^2\left(2x\right)=\sin^2\left(3x\right)-\sin^2\left(x\right) \\
\sin^2\left(2x\right)\left(\sin\left(3x\right)-\sin\left(x\right)\right)\left(\sin\left(3x\right)+\sin\left(x\right)\right)\\
\sin\left(3x\right)-\sin\left(x\right)=2\cos\left(2x\right)\sin\left(x\right) \\
\sin\left(3x\right)+\sin\left(x\right)=2\sin\left(2x\right)\cos\left(x\right) \\
\sin^2\left(2x\right)=\left(4\sin\left(x\right)\cos^2\left(x\right)\right)\left(2\sin\left(x\right)-4\sin^3\left(x\right)\right) \\
16\sin^4\left(x\right)\cos^2\left(x\right)=4\sin^2\left(x\right)\cos^2\left(x\right) \\
\sin^2\left(x\right)\cos^2\left(x\right)\left(4\sin^2\left(x\right)-1\right)=0}\)
\(\displaystyle{ x=k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{6}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)

pisałem ten kod 20 min i fajnie by było żebym chociaż to zrozumiał co zrobiłem źle.

[albanczyk123456]

\(\displaystyle{ \\ 16\sin^6\left(x\right)-20\sin^4\left(x\right)+4\sin^2\left(x\right)=0 \\ 4\sin^2\left(x\right)\left(4\sin^4\left(x\right)-5\sin^2\left(x\right)+4\right)=0}\)
powinno byc:
\(\displaystyle{ 4\sin^2\left(x\right)\left(4\sin^4\left(x\right)-5\sin^2\left(x\right)+1\right)=0}\)

[Bartl1omiej]

Przekształcamy równanie do postaci:

\(\displaystyle{ \sin^2(x) -\sin^2(3x)+\sin^2(2x)= 0}\)

\(\displaystyle{ [\sin(2x) -\sin(3x)][\sin(2x) +\sin(3x)] +\sin^2(2x) = 0.}\)

Stosujemy wzory na sumę i różnicę sinusów.

Zapisujemy \(\displaystyle{ \sin^2(2x) = 4\sin^2(x)\cos^2(x)}\)

Zamieniamy

\(\displaystyle{ \cos(2x) = 1 -2\sin^2(x)}\)

Wymnażamy lewą stronę równania.

Wyciągamy \(\displaystyle{ 4\sin^2(x)\cos^2(x) = \sin^2(2x)}\) przed nawias.

[ibialy2]

czyli wtedy z mojego drugiego podejścia do tego zadania:
\(\displaystyle{ 4\sin^2\left(x\right)\left(4\sin^4\left(x\right)-5\sin^2\left(x\right)+1\right)}\)
\(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)=0}\) lub \(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)=\frac{1}{4}}\) lub \(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)=1}\)

\(\displaystyle{ \sin\left(x\right)=0}\) dla \(\displaystyle{ x=k\pi}\)
\(\displaystyle{ \sin\left(x\right)=\pm\frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{6}+2k\pi}\) i dla \(\displaystyle{ x=\pm\frac{5}{6}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \sin\left(x\right)=\pm 1}\) dla \(\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)

a rozwiązanie w kiełbasie to: \(\displaystyle{ x=k\cdot\frac{\pi}{2}}\) lub \(\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi}\).

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \sin^2\left(x\right)+\sin^2\left(2x\right)=\sin^2\left(3x\right)}\)

\(\displaystyle{ \sin^2(x)+4\sin^2(x)\cos^2(x)=\left( 3\sin(x)-4\sin^3(x)\right)^2}\)


\(\displaystyle{ \sin^2(x)+4\sin^2(x)\left(1- \sin^2(x)\right) =\left( 3\sin(x)-4\sin^3(x)\right)^2= \\ 9\sin^2(x)- 24\sin^4(x)+16\sin^6(x)}\)

\(\displaystyle{ 16\sin^6(x)- 20\sin^4(x)+4\sin^2(x)=0 \ |:4}\)

\(\displaystyle{ 4\sin^6(x)- 5\sin^4(x)+\sin^2(x)=0}\)

Nowa zmienna: \(\displaystyle{ y=\sin^2(x)}\)

\(\displaystyle{ y^2(4y^4-5y^2+1)=0}\)

\(\displaystyle{ y_1=0 \ \vee \ 4y^4-5y^2+1=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=9}\)

\(\displaystyle{ y_2= \frac{5-3}{8} = \frac{1}{4}\quad x_3= \frac{5+3}{8}=1}\)

Wracamy do starych zmiennych:

\(\displaystyle{ \sin^2(x)=0 \ \vee \ \sin^2(x)= \frac{1}{4} \ \vee \ \sin^2(x)=1}\)

\(\displaystyle{ \sin(x)=0 \ \vee \ \sin(x)= -\frac{1}{2} \ \vee \ \sin(x)= \frac{1}{2} \ \vee \ \sin(x)=-1 \ \vee \ \sin(x)=1}\)

a dalej to już proste.