obliczyć zbiór wartości funkcji

[ibialy2]

\(\displaystyle{ \frac{2}{1+\sin\left(x\right)^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{1+\sin\left(x\right)^2}}\)
jak obliczyć zbiór wartości funkcji tych funkcji

[bartek118]

Uwzględniając, że \(\displaystyle{ \sin^2}\) przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy \(\displaystyle{ [0,1]}\), to \(\displaystyle{ 1+\sin^2}\) przyjmuje wszystkie wartości w \(\displaystyle{ [1,2]}\). Czyli
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+\sin^2}}\)

przyjmuje wszystkie wartości w \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2}, 1 \right]}\) i w konsekwencji obrazem funkcji \(\displaystyle{ \frac{2}{1+\sin^2}}\) jest \(\displaystyle{ [1,2]}\).

[ibialy2]

ta metoda niestety nie działa w tym drugim przykładzie

[Zahion]

A to dlaczego ?

[a4karo]

W pierwszym też nie, bo \(\displaystyle{ \sin(x)^2\neq \sin^2x}\)

[arek1357]

a) \(\displaystyle{ W=\langle 1; \infty )}\)

[bartek118]

W sumie to pytanie do autora co rozumie przez ten zapis, czy
\(\displaystyle{ \sin (x)^2 = (\sin x)^2}\)
czy
\(\displaystyle{ \sin (x)^2 = \sin (x^2)}\)

[ibialy2]

miałem na myśli ten zapis \(\displaystyle{ \sin\left(x\right)^2=\left(\sin\left(x\right)\right)^2}\)
już wiem że nie powinno się tak zapisywać, ale nie rozwiązywałem jeszcze zadać z tym zapisem \(\displaystyle{ \sin\left(x^2\right)}\), więc zastosowałem taki "skrót myślowy" ale szacun za waszą czujność, a co do tego zadania z wyznaczeniem zbioru wartości to zobaczcie rozwiązanie

Kod: Zaznacz cały

https://www.desmos.com/calculator/vabgj3mdew

i teraz jak ktoś miałby czas to prosiłbym o rozwiązanie

[bartek118]

miałem na myśli ten zapis \(\displaystyle{ \sin\left(x\right)^2=\left(\sin\left(x\right)\right)^2}\)
już wiem że nie powinno się tak zapisywać, ale nie rozwiązywałem jeszcze zadać z tym zapisem \(\displaystyle{ \sin\left(x^2\right)}\), więc zastosowałem taki "skrót myślowy" ale szacun za waszą czujność, a co do tego zadania z wyznaczeniem zbioru wartości to zobaczcie rozwiązanie

Kod: Zaznacz cały

https://www.desmos.com/calculator/vabgj3mdew

i teraz jak ktoś miałby czas to prosiłbym o rozwiązanie

No to rozwiązanie z mojego pierwszego posta jest prawidłowe.

[arek1357]

Ale mieszacie...

Narracja jak w czeskim filmie...

[Dilectus]

miałem na myśli ten zapis \(\displaystyle{ \sin\left(x\right)^2=\left(\sin\left(x\right)\right)^2}\)

Zapisuj to w myśł przyjętych w całym świecie zasad:

\(\displaystyle{ \left(\sin\left(x\right)\right)^2=\sin x \cdot \sin x= \sin^2 x}\)

Zbiór wartości tej funkcji

\(\displaystyle{ \frac{2}{1+\sin\left(x\right)^2}=\frac{2}{1+\sin^2x}}\)

liczysz tak:
\(\displaystyle{ 0 \le \sin^2x \le 1}\)

\(\displaystyle{ 1 \le 1+\sin^2x \le 2}\)

no to

\(\displaystyle{ 1= \frac{2}{1+1} \le \frac{2}{1+\sin\left(x\right)^2} \le \frac{2}{1+0}= 2}\)

\(\displaystyle{ f(x) \in \left\langle 1, 2\right\rangle}\)

[ibialy2]

czy możesz też zrobić przykład gdzie w liczniku jest 3?

[a4karo]

Sam zrób. Przecież to to samo

[bartek118]

miałem na myśli ten zapis \(\displaystyle{ \sin\left(x\right)^2=\left(\sin\left(x\right)\right)^2}\)

Zapisuj to w myśł przyjętych w całym świecie zasad:

\(\displaystyle{ \left(\sin\left(x\right)\right)^2=\sin x \cdot \sin x= \sin^2 x}\)

Zbiór wartości tej funkcji

\(\displaystyle{ \frac{2}{1+\sin\left(x\right)^2}=\frac{2}{1+\sin^2x}}\)

liczysz tak:
\(\displaystyle{ 0 \le \sin^2x \le 1}\)

\(\displaystyle{ 1 \le 1+\sin^2x \le 2}\)

no to

\(\displaystyle{ 1= \frac{2}{1+1} \le \frac{2}{1+\sin\left(x\right)^2} \le \frac{2}{1+0}= 2}\)

\(\displaystyle{ f(x) \in \left\langle 1, 2\right\rangle}\)

Formalnie to wykazałeś jedynie, że \(\displaystyle{ ZW \subseteq [1,2]}\). Należałoby się jeszcze słowo komentarza, czemu zachodzi równość.