Rozwiąż równanie

[matematykipatyk]

Podaj największe rozwiązanie równania w podanym przedziale:
\(\displaystyle{ \cos 2x -\cos (2x+ \frac{\pi}{2} ) =1}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,2\pi)}\)
\(\displaystyle{ \cos 2x +\sin 2x =1}\)
Podnosząc obustronnie do kwadratu mamy:
\(\displaystyle{ \sin 2x \cdot \cos 2x= 0 \\
\sin 2x =0 \vee \cos 2x= 0}\)
Wg.mnie w podanym przedziale rozwiązują to liczby
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} ,\pi, \frac{3}{2} \pi, \frac{\pi}{4}, \frac{3}{4} \pi, \frac{5}{4} \pi, \frac{7}{4} \pi}\)
Dlaczego w odpowiedziach jest podane, że największym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)

[kmarciniak1]

Korzystając ze wzoru redukcyjnego już w pierwszym przekształceniu popełniasz błąd.

\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{ \pi }{2}+ \alpha \right)=-\sin \alpha}\)

[matematykipatyk]

to był błąd przy przepisywaniu. Już poprawiłem.

[kmarciniak1]

Podnoszenie do kwadratu nie jest w tym wypadku przejściem równoważnym.Ja bym zamiast tego lewą stronę przekształcił używając wzorów na podwojony sinus i cosinus a prawą stronę z jedynki.

[matematykipatyk]

Dlaczego nie mogę podnieść do kwadratu.

[kmarciniak1]

Bo możesz dostać więcej rozwiązań niż jest w wyjściowym równaniu.

[Jan Kraszewski]

Dlaczego nie mogę podnieść do kwadratu.

Może odwrócę to pytanie: a dlaczego możesz?

JK

[matematykipatyk]

Mogę jeżeli po obydwu stronach mam liczby dodatnie. Tutaj np. po podstawieniu rozwiązania \(\displaystyle{ \frac{7}{4} \pi}\) otrzymuję \(\displaystyle{ -1}\). Szkoda. Mi się takie rozwiązanie podobało. Korzystając z podpowiedzi kmarciniak1 -a otrzymuję :
\(\displaystyle{ \sin x (\cos x - \sin x) = 0}\)
Czyli mam następujące rozwiązania:
\(\displaystyle{ \pi,\frac{\pi}{4}, \frac{5}{4} \pi,}\)
To dlaczego największe rozwiązanie to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). Przecież jest odwrotnie.

[kmarciniak1]

Rozwiązania równania masz dobre. Błąd jest w odpowiedziach najprawdopodobniej.

[matematykipatyk]

No też tak misie wydaje.