Rozwiązać nierówność

[problem_matematyczny]

Witam, mam następujące zadanie, nie wiem czy jest poprawnie rozwiązane:

\(\displaystyle{ \sin ^{2}x<\cos ^{2}x}\)

i teraz, czy mogę tak to rozwiązać:

\(\displaystyle{ \sin ^{2}x - \cos ^{2}x<0}\)|(dodaje stronami \(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x}\) dla stworzenia jedynki tyrgonometrycznej
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x - \cos ^{2}x + 2\cos ^{2}x< 2\cos ^{2}x \\
\sin ^{2}x + \cos ^{2}x < 2\cos ^{2}x \\
1< 2\cos ^{2}x \\
\cos ^{2}x> \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos x = t}\)

\(\displaystyle{ t^{2} > \frac{1}{2} \\
\left( t - \frac{\sqrt{2} }{2} \right) \left( t+\frac{\sqrt{2} }{2} \right) >0}\)
czyli \(\displaystyle{ \cos x}\) należy od \(\displaystyle{ \left( - \infty , \frac{\sqrt{2} }{2} \right)}\) do \(\displaystyle{ \left( \frac{\sqrt{2} }{2}, +\infty \right)}\)
czyli \(\displaystyle{ x}\) nie należy od \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{4}}\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)

-- 17 lis 2018, o 23:39 --

czy jak inaczej to rozwiązać ?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \sin ^{2}x - \cos ^{2}x<0}\)|(dodaje stronami \(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x}\) dla stworzenia jedynki tyrgonometrycznej
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x - \cos ^{2}x + 2\cos ^{2}x< 2\cos ^{2}x \\
\sin ^{2}x + \cos ^{2}x < 2\cos ^{2}x \\
1< 2\cos ^{2}x \\
\cos ^{2}x> \frac{1}{2}}\)

Bardzo rozwlekle, ale poprawnie.

czyli \(\displaystyle{ \cos x}\) należy od \(\displaystyle{ \left( - \infty , \frac{\sqrt{2} }{2} \right)}\) do \(\displaystyle{ \left( \frac{\sqrt{2} }{2}, +\infty \right)}\)

Fuj, jak można należeć "od zbioru do zbioru". Poza tym zjadło Ci minusa.

Czyli \(\displaystyle{ \cos x<-\frac{\sqrt{2} }{2}}\) lub \(\displaystyle{ \cos x>\frac{\sqrt{2} }{2}.}\)

czyli \(\displaystyle{ x}\) nie należy od \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{4}}\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)

No nieprawda - co to znaczy "\(\displaystyle{ x}\) nie należy od \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{4}}\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)"? Nie tylko tam nie należy. Sformułuj poprawnie końcową odpowiedź.

JK

[problem_matematyczny]

\(\displaystyle{ \cos x}\) należy \(\displaystyle{ \left( - \infty , -\frac{\sqrt{2} }{2} \right) \cup\left( \frac{\sqrt{2} }{2}, +\infty \right)}\)

A mogę zapisać odpowiedź, \(\displaystyle{ x}\) nie należy \(\displaystyle{ \left( \frac{-\pi}{4} + k \pi, \frac{\pi}{4}+ k \pi \right)}\).

Bo łatwiej zapisać do czego nie należy \(\displaystyle{ x}\) , niż należy.

[Jan Kraszewski]

A mogę zapisać odpowiedź, \(\displaystyle{ x}\) nie należy \(\displaystyle{ \left( \frac{-\pi}{4} + k \pi, \frac{\pi}{4}+ k \pi \right)}\).

No do tego przedziału to akurat należy (wbrew temu, co napisałem wcześniej...). Przyjrzyj się dokładnie wykresowi cosinusa.

Bo łatwiej zapisać do czego nie należy \(\displaystyle{ x}\) , niż należy.

To żadne wytłumaczenie. Masz podać zbiór rozwiązań nierówności.

JK

[problem_matematyczny]

a zaraz czy to nie powinno być \(\displaystyle{ \left( \frac{-\pi}{4} + 2k \pi, \frac{\pi}{4}+ 2k \pi \right).}\)??

[Jan Kraszewski]

To połowa rozwiązania, odpowiadająca warunkowi \(\displaystyle{ \cos x>\frac{\sqrt{2} }{2}}\).

JK

[problem_matematyczny]

aa to jeszcze \(\displaystyle{ \left( \frac{-\pi}{4} - 2k \pi \right)}\) bo wykres idzie w kierunku \(\displaystyle{ x <0}\)

[Jan Kraszewski]

aa to jeszcze \(\displaystyle{ \red\left( \frac{-\pi}{4} - 2k \pi \right)}\) bo wykres idzie w kierunku x <0

A co to?

JK

[problem_matematyczny]

hmm, no nie wiem, tamto faktycznie jest bezsensu.
wydawało mi się, że \(\displaystyle{ \left( \frac{-\pi}{4} + 2k \pi, \frac{\pi}{4}+ 2k \pi \right)}\) wyczerpuje wszystkie x, bo ja spojrze na wykres cosinusa to idealnie co 2k\(\displaystyle{ \pi}\) wychodzi przedział

Mógłbyś napisać poprawną odpowiedz, bo po prostu nie widzę innej możliwości niż to co zostało napisane

[Jan Kraszewski]

Napisałem Ci wyraźnie:

To połowa rozwiązania, odpowiadająca warunkowi \(\displaystyle{ \cos x>\frac{\sqrt{2} }{2}}\).

co oznacza, że nie rozwiązałeś jeszcze nierówności \(\displaystyle{ \cos x<-\frac{\sqrt{2} }{2}}\).

JK

[problem_matematyczny]

nie wiem, zaczyna mi się wszytko mieszać,

to x należy od \(\displaystyle{ (- \infty, \frac{-\pi}{4} + 2k \pi) \cup \left( \frac{\pi}{4}+ 2k \pi, +\infty\right)}\)

jak nie to już nie wiem

[Jan Kraszewski]

nie wiem, zaczyna mi się wszytko mieszać,

To widać.

to x należy od \(\displaystyle{ (- \infty, \frac{-\pi}{4} + 2k \pi) \cup \left( \frac{\pi}{4}+ 2k \pi, +\infty\right)}\)

A co to ma wspólnego z wykresem cosinusa? I co to tak naprawdę w ogóle jest?

Z rachunków, które wykonałeś wcześniej, wyszło że Twoja nierówność jest równoważna alternatywie nierówności

\(\displaystyle{ \cos x<-\frac{\sqrt{2} }{2}}\) lub \(\displaystyle{ \cos x>\frac{\sqrt{2} }{2}.}\)

Masz zatem rozwiązać te dwie elementarne nierówności i zsumować wyniki. Na razie podałeś wynik

\(\displaystyle{ \left( \frac{-\pi}{4} + 2k \pi, \frac{\pi}{4}+ 2k \pi \right),}\)

który - po dodaniu informacji, że \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\) - jest rozwiązaniem nierówności \(\displaystyle{ \cos x>\frac{\sqrt{2} }{2}.}\) Nie wiem, czy otrzymałeś ten wynik świadomie, czy przypadkiem.

Pozostaje rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \cos x<-\frac{\sqrt{2} }{2}}\), którą rozwiązuje się analogicznie, nie wiem zatem, skąd te dziwne propozycje, które produkujesz. Przyjrzyj się uważnie wykresowi cosinusa i stwierdź, kiedy wartości funkcji są poniżej \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{2} }{2}}\).

JK

[problem_matematyczny]

Nadal nie wiem, mógłby ktoś podać odpowiedź, tak bym mógł ją po prostu powoli sobie przeanalizował i zrozumiał końcówkę zadania ?

[Jan Kraszewski]

Ale czego nie rozumiesz w tym, co Ci napisałem? Czy rozumiesz to:

Z rachunków, które wykonałeś wcześniej, wyszło że Twoja nierówność jest równoważna alternatywie nierówności

\(\displaystyle{ \cos x<-\frac{\sqrt{2} }{2}}\) lub \(\displaystyle{ \cos x>\frac{\sqrt{2} }{2}.}\)

JK

[problem_matematyczny]

a czy dla \(\displaystyle{ \cos x<-\frac{\sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x}\) należy \(\displaystyle{ \left( \frac{3\pi }{4} + 2k\pi, \frac{5\pi}{4}+2k\pi \right)}\) ??