Wykazanie prawdziwości wzoru korzystając z sin(2x)

[astreven]

Witam!

Od ponad godziny jestem w martwym punkcie przy zadaniu z udowodnieniem spełnienia pewnego równania. Nie wygląda na trudne, ale czegoś widocznie nie mogę zauważyć i nie mogę ruszyć dalej. Niżej podaję treść zadania. Z góry dziękuję za wszelką pomoc!

Korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ \sin 2\phi = 2 \sin \phi \cos \phi}\) pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ s = \sin \frac{\pi}{8}}\), to spełnione jest równanie: \(\displaystyle{ 8s^{4} - 8s^{2} + 1 = 0}\).
Rozwiąż je w celu obliczenia \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{8}}\) (\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{4}= \frac{1}{\sqrt{2}}}\)).

[janusz47]

Czy na pewno jest \(\displaystyle{ +1}\) a nie \(\displaystyle{ -1}\) w równaniu dwukwadratowym?

[astreven]

janusz47, dokładnie tak mam podane.

[janusz47]

\(\displaystyle{ 8\sin^4\left(\frac{\pi}{8}\right) - 8\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right) +1 = 0}\)

\(\displaystyle{ 8\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right) \left(\sin^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) -1 \right) +1 =0}\)

\(\displaystyle{ -8\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) +1 = 0}\)

\(\displaystyle{ -2\left[ 2\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\right]^2+1 = 0.}\)

\(\displaystyle{ -2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) +1 = 0}\)

\(\displaystyle{ -2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1=0}\)

\(\displaystyle{ -2\cdot \frac{1}{2} +1 =0}\)

\(\displaystyle{ -1 + 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ 0 = 0}\)

W drugiej części zadania proponuję podstawienie \(\displaystyle{ 0< t = s^2}\)