Uproszczenie funkcji cyklometrycznej

[strefa61]

Witam,
mamy zadanie przykładowe: uprość:
\(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \arccos{(\cos{x})}}\)
pierwsza myśl, to oczywiście po prostu \(\displaystyle{ x}\), ale ten nie koniecznie należy do przedziału, na którym jest określona funkcja \(\displaystyle{ \arccos}\). Stąd moje pytanie: jak można to uprościć w taki sposób, żeby faktycznie uzależnić to od \(\displaystyle{ x}\), a zawsze lądować w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0,\pi\right]}\)?

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ x=\alpha+2k\pi \vee x=-\alpha+2k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha\in \left[ 0, \pi\right], \ k\in \ZZ}\). Wówczas \(\displaystyle{ \arccos (\cos x)=\alpha}\). To powinno pomóc.

[strefa61]

Ok, mam coś takiego (trochę inaczej, ale wydaje mi się, że działa):
\(\displaystyle{ \arccos{(\cos{x})}= \begin{cases} \arccos{(\cos(\alpha))}, \ dla \ x = 2k\pi + \alpha, k\in\mathbb Z \\ \arccos{(\cos(-\alpha))} \ dla \ x = (2k+1)\pi + \alpha, k\in\mathbb Z \end{cases} \
\alpha \in \left[ 0,\pi\right]}\)
i wykorzystując wzory redukcyjne: \(\displaystyle{ \cos{-\alpha}=cos{\alpha}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \arccos{(\cos{x})}= \begin{cases} \alpha \\ \alpha \end{cases}}\) zatem:
\(\displaystyle{ \arccos{(\cos{x})}=\alpha}\) dla \(\displaystyle{ x=(2k+1)\pi + \alpha \ \vee x = 2k\pi + \alpha}\)
Czy to jest ok?

[a4karo]

Niech \(\displaystyle{ x=2k\pi}\) wtedy z jednej strony \(\displaystyle{ x}\) jest bliskie liczbom postaci \(\displaystyle{ 2k\pi+\alpha}\) dla małych alpha, a z drugiej strony jest bliskie liczbom postaci \(\displaystyle{ (2(k-1)+1)\pi +\beta}\) dla \(\displaystyle{ \beta}\) bliskich \(\displaystyle{ \pi}\). Stąd wniosek, że w twojej formule w pobliżu punktów postaci \(\displaystyle{ 2k\pi}\) istniałaby nieciągłość. A ta funkcja przeciez jest ciągłą.

Próbuj dalej

[strefa61]

\(\displaystyle{ \arccos{(\cos{x})}= \begin{cases} \arccos{(\cos(\alpha))}, \ dla \ x = 2k\pi + \alpha, k\in\mathbb Z \\ \arccos{(\cos(-\alpha))} \ dla \ x = (2k+1)\pi + \alpha, k\in\mathbb Z \end{cases} \
\alpha \in \left[ 0,\pi\right]}\)

A jakby w tym miejscu dać do pierwszego równania: \(\displaystyle{ \alpha \in \left[ 0,\pi\right]}\) i do drugiego
\(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0,\pi\right)}\)? Wtedy chyba pozbyłbym się tego problemu, a nie straciłbym żadnego \(\displaystyle{ x\in \mathbb R}\)

[a4karo]

Masz taki sam argument z brakiem ciągłości. Spróbuj to narysować.

Wskazówka: Popatrz ile wynosi wartość tej funkcji dla \(\displaystyle{ x=0, \pi/2, \pi, 3\pi/3, 2\pi}\) a potem użyj okresowości

[strefa61]

Czyli mam jeszcze coś takiego:
\(\displaystyle{ \arccos{(\cos{x})}=x-2k\pi \ ,k\in\mathbb{Z} \ dla \ (x-2k\pi) \in \left[0, \right\pi]}\)
i
\(\displaystyle{ \arccos{(\cos{x})}=2k\pi-x \ ,k\in\mathbb{Z} \ dla \ (2k\pi-x) \in \left[0, \right\pi]}\)

edit:Jeszcze myślę, czy nie powinienem dać w drugim równaniu przedziału otwartego?

[a4karo]

Tak jakoś to powinno wyglądać. (tylko zapisz \(\displaystyle{ x-2k\pi\in[0,\pi]}\) wygląda trochę dziwnie - oczekujemy postaci \(\displaystyle{ x\in ...}\)
Jeżeli na końcach wartości sie zgadzają, to nie ma znaczenia gdzie domkniesz przedział a gdzie otworzysz, ale warto unikac podwójnego definiowania.

[strefa61]

Ok, dzięki za sporo pomocy