six=cosx => drobny problemik :)

[P@wel.C]

Witam młode mózgi i te troszke starsze
Rozwiązywałem sobie właśnie równanie trygonometryczne i po wykonaniu przekształceń otrzymałem banalnie proste równanko sinx= cosx . Wiem, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4} + k\pi \: k\in C}\), ale używając wzrorów określających własności sinusa i cosinusa znajduję tylko rozwiązanie \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4} + 2k\pi \: k\in C}\), ponieważ wykresy tych funkcji przecinają sie dla kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} + 2k\pi \: k\in C}\) (sinus i cosinus ma tą samą wartośc dla tego kąta) ale jak znaleść resztę rozwiązan? przeciez gdy sinx=a i \(\displaystyle{ a\in }\) to \(\displaystyle{ x= x_{0}+ 2k\pi \: lub \: x= (\pi - x_{0}) + 2k\pi , \: k\in C , \: gdzie \: x_{0} \: i \: sinx_{0} = a}\)
a dla cosx = a i \(\displaystyle{ a\in }\) to \(\displaystyle{ x= x_{0}+ 2k\pi \: lub \: x= - x_{0} + 2k\pi , \: k\in C , \: gdzie \: x_{0} \: i \: cosx_{0} = a}\) jak znaleść pozostałe rozwiązania ? np \(\displaystyle{ x= \frac{5\pi}{4}}\)

*****************************************
Wpadłem na coś takiego

sinx= cosx | teraz dzielę obie strony równania przez cos x przy załozeniu ze \(\displaystyle{ cosx 0}\) więc \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} +2k\pi , \: k\in C}\)

otrzymuję wtedy
\(\displaystyle{ \frac{sinx}{cosx} = 1}\)

i teraz łatwo zauważyć, że

tgx = 1

więc \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4} + k\pi \: k\in C}\)

Ale czy to jedyny sposób żeby rozwiązać prawidłowo równanie sinx=cosx czy można to zrobic nie przekształcając do tg x?

[Tomasz Rużycki]

\(\displaystyle{ \cos x=\sin (x+\frac{\pi}{2})}\)

Skorzystaj z tego, oraz z nieparzystości sinusa.

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki