Tożsamość trygonometryczna

[matematykipatyk]

Udowodnij tożsamość:
\(\displaystyle{ \cos 2x(1+ \tg x \tg 2x) =1}\)

[Zahion]

\(\displaystyle{ 1+ \tg x \tg 2x = 1 + \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\cos x \cos 2x + \sin x \sin 2x}{\cos x \cos 2x} = \frac{\cos x}{\cos x \cos 2x} = \frac{1}{\cos 2x}}\)

, gdyż \(\displaystyle{ \cos \left( 2x - x\right) = \cos x \cos 2x + \sin x \sin 2x}\)

[Premislav]

Można też wyrazić wszystko przez \(\displaystyle{ \tg x}\):
\(\displaystyle{ \cos 2x=\frac{1+\cos^2 x}{2}=\frac 1 2+\frac 1 2\left( \frac{1}{1+\tg^2 x} \right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \tg 2x= \frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}}\)
i dalej zwykłe przekształcenia algebraiczne.

Jeszcze pozostaje kwestia dziedziny lewej strony:
\(\displaystyle{ x\neq \frac \pi 4+\frac k 2\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\).