Wyznacz dziedzinę

[Pyroxar]

Wyznacz dziedzinę funkcji:
\(\displaystyle{ \arcsin \left( \frac{ \pi }{3} \arctan x \right)}\)
Arcsin ma dziedzinę: \(\displaystyle{ \left\langle -1, 1 \right\rangle}\)
więc \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}\arctan x \le 1}\) i \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}\arctan x \ge -1}\)
czyli \(\displaystyle{ x \le \frac{3}{ \pi }}\) i \(\displaystyle{ x \ge \frac{-3}{ \pi }}\)

Dobrze rozumuje?

[Premislav]

Arcsin ma dziedzinę: \(\displaystyle{ <-1, 1>}\)
więc \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}arctx \le 1}\) i \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}arctx \ge -1}\)

To jest OK, ale co stało się dalej, to chyba nikt nie wie.
BTW tak można zapisać arkus tangens: \(\displaystyle{ \arctan x}\).

[Pyroxar]

Podzieliłem przez \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{ 3 }}\) czyli \(\displaystyle{ \arctan x \le \frac{3}{ \pi }}\). Jeżeli nie tak to powinno być to jak? Nie mam do tego odpowiedzi, niestety.

[Premislav]

No dobra, ale przecież \(\displaystyle{ \arctan}\) sobie magicznie nie zniknął, a nie jest w ogólności prawdą, że
\(\displaystyle{ \arctg x \le y \Leftrightarrow x\le y}\) itd.
Po dojściu do
\(\displaystyle{ -\frac{3}{\pi}
\arctg x \le \frac{3}{\pi}}\)
nie ma wyjścia, trzeba skorzystać z funkcji tangens i z tego, że jest ona rosnąca w \(\displaystyle{ \left( -\frac \pi 2, \frac \pi 2\right)}\).