Proszę wykazać tożsamość trygonometryczną:
\(\displaystyle{ [\cos(x) -\cos(y)]^2 +[\sin(x)-\sin(y)]^2 =4\sin^2 \left(\frac{1}{2}(x-y)\right)}\)
Dowód:
Lewa strona:
Podnosimy do kwadratów różnicy:
\(\displaystyle{ \cos^2(x) -2\cos(x)\cos(y) + \cos^2(y) + \sin^2(x) -2\sin(x)\sin(y) + sin^2(y)}\)
Uwzględniamy jedynki trygonometryczne:
\(\displaystyle{ \cos^2(x)+\sin^2(x) =1, \ \ \cos^2(y) +\sin^2(y) = 1.}\)
\(\displaystyle{ 2 - 2\cos(x)\cos(y) - 2\sin(x)\sin(y)}\)
Wyłączamy \(\displaystyle{ 2}\) przed nawias:
\(\displaystyle{ 2[ 1 - (\cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y))]}\)
"Zwijamy" sumę w nawiasie stosując wzór na kosinus różnicy dwóch argumentów:
\(\displaystyle{ 2[ 1 - \cos(x-y)]}\)
Zapisujemy kosinus w postaci podwojonego argumentu:
\(\displaystyle{ 2 \left[ 1 - \cos\left(2 \frac{1}{2}(x- y)\right)\right]}\)
Stosujemy wzór kosinus podwojonego argumentu:
\(\displaystyle{ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha) = 1-2\sin^2(\alpha).}\)
\(\displaystyle{ 2\left[ 1 - 1 + 2\sin^2\left(\frac{1}{2}(x-y)\right)\right ] = 4\sin^2\left(\frac{1}{2}(x-y)\right)}\) (*)
"Idąc z prawej strony wzoru (*) drogą odwrotną"
\(\displaystyle{ \leftarrow}\)
dochodzimy do:
\(\displaystyle{ [\cos(x)- \cos(y)]^2 + [\sin(x) - \sin(y)]^2.}\)
Co mieliśmy wykazać.
