Dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązanie

[lunatic1221]

Dane jest równanie i trzeba wyliczyć dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie to ma rozwiązania. Nie rozumiem jednego podpunktu. Dlaczego \(\displaystyle{ \\ f(1) \ge 0 \\}\)?

\(\displaystyle{ \sin ^{2}x + \sin x + m = 0 \\ t = \sin x \\ t^{2} + t + m = 0 \\ \Delta \ge 0 \\ 1 - 4m \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{1}{4} \\ \\ f(1) \ge 0 \\ m \ge - 2 \\ m \in\left\langle-2;\frac{1}{4}\right\rangle}\)

[a4karo]

To "rozwiązanie" nie jest rozwiązaniem. Rozwiązanie zadania to ciąg zdań w języku polskim, gdzie dla wygody używane są symbole matematyczne. O ile pierwszą część można jakoś zrozumieć, to warunek \(\displaystyle{ f(1)\geq 0}\) jest wzięty znikąd.


Wady tego "rozwiązania" (oprócz braku komentarza) są takie:

1. Sprawdzono, że równanie \(\displaystyle{ t^2+t+m}\) ma rozwiązanie dla \(\displaystyle{ m\leq 1/4}\), ale nie sprawdzono, czy te rozwiązania są sinusami jakichkolwiek kątów (innymi słowy czy leżą w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\).
2. Nigdzie nie napisano czym jest funkcja \(\displaystyle{ f}\).

[Premislav]

Mam taką propozycję rozwiązania:
oczywiście \(\displaystyle{ f(x)=\sin^2 x+\sin x}\) jest funkcją ciągłą na \(\displaystyle{ \RR}\), ponieważ sinus jest funkcją ciągłą, a ponadto
\(\displaystyle{ \sin^2 x+\sin x=\left( \sin x+\frac 1 2\right)^2-\frac 1 4\ge -\frac 1 4}\)
z równością dla \(\displaystyle{ \sin x=-\frac 1 2}\), tj. \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\vee x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sin^2 x+\sin x\le 2}\), gdyż \(\displaystyle{ |\sin x|\le 1}\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\) i równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ \sin x=1}\), tj. \(\displaystyle{ x=\frac\pi 2+2k\pi, \ k\in \ZZ}\).
Z tw. Darboux dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) i np. przedziału \(\displaystyle{ \left[\frac \pi 2; \frac 7 6\pi \right]}\)
możemy już wywnioskować, że zbiorem wartości \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ \left[ -\frac 1 4; 2\right]}\), czyli równanie \(\displaystyle{ f(x)=-m}\) ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy
\(\displaystyle{ -\frac 1 4\le -m \le 2}\), tj. \(\displaystyle{ m\in\left[ -2;\frac 1 4\right]}\).

[a4karo]

Można również zbadać zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t^2+t}\) w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Wyjściowe równanie ma rozwiązanie gdy liczba \(\displaystyle{ -m}\) należy do tego zbioru.