Rozwiąż równanie, funkcje cyklometryczne

[Stefaniak1916]

Witam, serdecznie proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania:
Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ -4 \cdot \arcsin(x)= -\pi + \arccos(x)}\)
Chyba można doprowadzić do postaci
\(\displaystyle{ \sin(4 \cdot \arcsin(x))=\sin( \pi -\arccos(x))}\) i potem nie wiem co zrobić, chyba prawą stronę równania można przekształcić na \(\displaystyle{ \sin(\arccos(x))}\).

[Tulio]

Trochę ładniej:

\(\displaystyle{ -4 \cdot \arcsin(x)= -\pi + \arccos(x)}\)
\(\displaystyle{ -\arccos(x) -4 \cdot \arcsin(x)= -\pi}\)
\(\displaystyle{ \arccos(x) + 4 \cdot \arcsin(x)= \pi}\)

pamiętajmy, że \(\displaystyle{ \arccos(x) = \frac{1}{2} \left( \pi - 2\arcsin(x) \right)}\)

Mamy więc:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\pi + 3\arcsin(x)= \pi}\)
\(\displaystyle{ 3\arcsin(x)= \frac{1}{2}\pi}\)
\(\displaystyle{ \arcsin(x)= \frac{\pi}{6}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\)

Rozwiązanie alternatywne

\(\displaystyle{ -4\arcsin(x)= -\pi + \arccos(x)}\)
\(\displaystyle{ -\arccos(x) -4\arcsin(x)= -\pi}\)
\(\displaystyle{ \arccos(x) + 4\arcsin(x)= \pi}\)
\(\displaystyle{ \cos(\arccos(x) + 4\arcsin(x))= -1}\)

Teraz za pomocą wzoru na cosinus sumy:
\(\displaystyle{ \cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}\)

Mamy:

\(\displaystyle{ \cos(\arccos(x))\cos(4\arcsin(x)) - \sin(\arccos(x))\sin(4\arcsin(x)) = -1}\)

\(\displaystyle{ \cos(\arccos(x)) = x}\)
\(\displaystyle{ \sin(\arccos(x)) = \sqrt{1-x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \cos(4\arcsin(x)) = 8x^{4}-8x^{2}+1}\) (trzeba wykazać)
\(\displaystyle{ \sin(4\arcsin(x)) = -4x^{3}\sqrt{1 - x^2} + 4x({1 - x^2})^{\frac{3}{2}}}\) (trzeba wykazać)

więc:

\(\displaystyle{ x(8x^{4}-8x^{2}+1) - \sqrt{1-x^{2}}(-4x^{3}\sqrt{1 - x^2} + 4x({1 - x^2})^{\frac{3}{2}}) = -1}\)

Jedynymi rozwiązaniami takiego równania są:
\(\displaystyle{ -1, \frac{1}{2}}\)

Co można sprawdzić tutaj:
*(-4*x^3*sqrt(1+-+x^2)+%2B+4*x*(1+-+x^2)^(3%2F2))+%3D+-1

[Stefaniak1916]

Dziękuję, jednak odnośnie tego krótszego rozwiązania, jak można wyprowadzić,że
\(\displaystyle{ \arccos(x) = \frac{1}{2} \left( \pi - 2\arcsin(x) \right)}\)
?-- 15 wrz 2018, o 23:51 --Już rozumiem, dziękuję

[Tulio]

Spróbuj graficznie przekształcając jedną funkcję w drugą

-- 16 wrz 2018, o 08:00 --

Jakbyś bardzo chciał to można to wykazać bez przekształceń wykresu.

Chcemy wykazać, że:

\(\displaystyle{ \arccos(x) = \frac{1}{2} \left( \pi - 2\arcsin(x) \right)}\)
\(\displaystyle{ \arccos(x) = \frac{1}{2} \pi - \arcsin(x)}\)
\(\displaystyle{ \arccos(x) + \arcsin(x) - \frac{\pi}{2} = 0}\)

Połóżmy funkcję:

\(\displaystyle{ f(x) = \arccos(x) + \arcsin(x) - \frac{\pi}{2}}\)

Chcemy udownić, że funkcja jest tożsamościowo równa \(\displaystyle{ 0}\). W tym celu liczymy jej pochodną:

\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + 0}\)
\(\displaystyle{ f'(x) = 0}\)

Pochodna funkcji \(\displaystyle{ f}\) równa się \(\displaystyle{ 0}\). Wynika z tego, że funkcja \(\displaystyle{ f = const}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\). Wystarczy zatem sprawdzić jedną, dowolną wartość:

\(\displaystyle{ f(0) = \arccos(0) + \arcsin(0) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 0 - \frac{\pi}{2} = 0}\)

Wynika z tego, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest stała i dla każdego \(\displaystyle{ x}\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Zatem:

\(\displaystyle{ f(x) = \arccos(x) + \arcsin(x) - \frac{\pi}{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ \arccos(x) + \arcsin(x) - \frac{\pi}{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ \arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(x)}\)
\(\displaystyle{ \arccos(x) = \frac{1}{2} - \left( \pi - 2\arcsin(x)\right)}\)

Co należało dowieść.

Oczywiście to jest poprawny dowód tej równości (i w zasadzie wszystkie równości funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych możesz w ten sposób próbować zrobić), ale nie rozwiązałbyś tak zadania (jest to nie do zauważenia). Ja to zauważyłem z przekształceń wykresów podobnie jak \(\displaystyle{ \cos{\left( \frac{\pi}{2}-x\right) } = \sin{x}}\). Co jest zresztą powiązane