wyznaczanie zbioru wartości

[Jmoriarty]

Mam wyznaczyć zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \ctg ^{2}x \cdot \sin ^{2}x}\).
Zamieniłem \(\displaystyle{ \ctg ^{2}x}\) na \(\displaystyle{ \left( \frac{\cos \left( x \right) }{\sin \left( x \right) } \right) ^{2}}\) i pomnożyłem, wyszło mi, że
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =\cos ^{2}x}\).
Jak teraz wyznaczyć zbiór wartości?
Próbowałem tak:
\(\displaystyle{ -1 \le \cos \left( x \right) \le 1}\)
i teraz chciałem to podnieść do kwadratu, ale nie wyjdzie dobrze, bo odpowiedź to zbiór \(\displaystyle{ \left\langle0;1\right)}\).

[a4karo]

A co się stanie gdy \(\displaystyle{ -0,5}\) podniesiesz do kwadratu?

[kerajs]

I warto zacząć od dziedziny
\(\displaystyle{ D:
x \in \RR \setminus \left\{ k \pi \right\}}\)

gdyż wtedy:
\(\displaystyle{ -1<\cos x<1}\)

[Jmoriarty]

a4karo, nie rozumiem nadal.

kerajs, dlaczego wyrzucamy z dziedziny \(\displaystyle{ k \pi}\), a nie \(\displaystyle{ 2k \pi}\)? Myślałem, że założenie to \(\displaystyle{ \sin(x) \neq 0}\).

[a4karo]

A spróbowałeś?

[Jmoriarty]

Czyli nie mogę tego podnieść do kwadratu. To jak inaczej?

[a4karo]

Możesz. Pytanie brzmi: co dostaniesz jak liczbę z przedziału \(\displaystyle{ (-1,1)}\) podniesiesz do kwadratu

[Jan Kraszewski]

kerajs, dlaczego wyrzucamy z dziedziny \(\displaystyle{ k \pi}\), a nie \(\displaystyle{ 2k \pi}\)? Myślałem, że założenie to \(\displaystyle{ \sin(x) \neq 0}\).

Dobrze myślałeś. Wiesz, kiedy \(\displaystyle{ \sin(x) \neq 0}\) ?

Czyli nie mogę tego podnieść do kwadratu. To jak inaczej?

Np skorzystać z tego, że

\(\displaystyle{ \cos^2x=\frac12\left( \cos 2x+1\right)}\).

JK

[Jmoriarty]

Np skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ \cos^2x=\frac12\left( \cos 2x+1\right)}\).

Nie znałem tego wzoru. Można to zrobić nie wykorzystując go?

[a4karo]

Wystarczy pomyśleć. Weż kalkulator i podnieś to cholerne \(\displaystyle{ -0,5}\) do kwadratu. A potem jakąś inną ujemną liczbę. I jeszcze jedną...

[Jan Kraszewski]

Albo zastanów się: jeśli \(\displaystyle{ -1<x<1}\), to jakie wartości przyjmuje funkcja \(\displaystyle{ g(x)=x^2}\) dla tych argumentów.

JK

[Jmoriarty]

Faktycznie, przyjmie wartości od zera do jedynki. Ale dlaczego algebraicznie mi to nie wychodzi? W sensie, po podniesieniu do kwadratu

[Jan Kraszewski]

Ale dlaczego algebraicznie mi to nie wychodzi? W sensie, po podniesieniu do kwadratu

Bo podniesienie do kwadratu nie jest przejściem równoważnym, co a4karo starał się wytłumaczyć Ci.

Nawiasem mówiąc - jak chciałbyś podnosić do kwadratu coś takiego: \(\displaystyle{ -1 \le \cos \left( x \right) \le 1}\). Przy okazji przypominam, że to nie jest nierówność, tylko układ nierówności.

JK