Dal danej miary kata \(\displaystyle{ \alpha}\) podaj najmiejszą dodatnią miarę kąta \(\displaystyle{ \beta}\) spełniającą równość \(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha + \sin ^{2} \beta =1}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 10^{o}}\)
Oblicz wartość
Oblicz wartość
Ostatnio zmieniony 17 sie 2018, o 13:43 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Oblicz wartość
\(\displaystyle{ \sin^2 \beta=\cos^2\left( 90-\beta\right)}\) (w stopniach, ja jestem bardziej przyzwyczajony do radianów, wtedy tam jest \(\displaystyle{ \frac {\pi}{2}}\), a nie \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\)), więc jedynka trygonometryczna sugeruje, że tą wartością będzie \(\displaystyle{ 80^{\circ}}\).
Łatwo to zweryfikować, ponieważ sinus jest dodatni i rosnący w pierwszej ćwiartce, więc przy ustalonym \(\displaystyle{ \alpha\in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\) funkcja \(\displaystyle{ f(\beta)=\sin^2\alpha+\sin^2\beta}\) jest rosnącą funkcją zmiennej \(\displaystyle{ \beta}\) w pierwszej ćwiartce, a ponadto dla \(\displaystyle{ \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha}\) osiąga wartość \(\displaystyle{ 1}\).
Łatwo to zweryfikować, ponieważ sinus jest dodatni i rosnący w pierwszej ćwiartce, więc przy ustalonym \(\displaystyle{ \alpha\in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\) funkcja \(\displaystyle{ f(\beta)=\sin^2\alpha+\sin^2\beta}\) jest rosnącą funkcją zmiennej \(\displaystyle{ \beta}\) w pierwszej ćwiartce, a ponadto dla \(\displaystyle{ \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha}\) osiąga wartość \(\displaystyle{ 1}\).