Równanie trygonometryczne

[41421356]

\(\displaystyle{ \sin 2x + \cos x = 1 \ , \ x\in \langle 0,2\pi)}\)

Jak wyznaczyć niezerowe rozwiązanie na tym przedziale?

[Premislav]

Zauważ, że musi być \(\displaystyle{ \cos x\ge 0}\), bo inaczej masz równoważnie:
\(\displaystyle{ \cos x=1-\sin(2x)}\)
i lewa strona jest ujemna a prawa nieujemna. Zatem ograniczamy się do
\(\displaystyle{ xinleft[0, frac pi 2
ight]cupleft[ frac 3 2 pi, 2pi
ight)}\).
Wówczas możemy wstawić \(\displaystyle{ \cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}}\), niech \(\displaystyle{ t=\sin x}\), wtedy \(\displaystyle{ t\in [-1,1]}\), a równanie przyjmuje postać
\(\displaystyle{ 2t\sqrt{1-t^2}+\sqrt{1-t^2}=1}\)
Możemy to podnieść do kwadratu dokładnie wtedy, gdy lewa strona jest nieujemna, czyli gdy \(\displaystyle{ t\ge -\frac 1 2}\) (a stąd wynika dodatkowe ograniczenie \(\displaystyle{ xin left[ 0, frac pi 2
ight] cup left[ frac{11}{6}pi, 2pi
ight)}\)).
Podnosimy do kwadratu i mamy
\(\displaystyle{ (1-t^2)(1+2t)^2=1\\4t^2+4t-4t^4-4t^3-t^2=0\\ -t\left(4t^3+4t^2-3t-4 \right)=0}\).
Wartość \(\displaystyle{ 4t^3+4t^2-3t-4}\) jest ujemna dla \(\displaystyle{ t=-\frac 1 2}\), a dodatnia (mianowicie równa \(\displaystyle{ 1}\)) dla \(\displaystyle{ t=1}\), zatem z tw. Darboux mamy w przedziale
\(\displaystyle{ \left[ -\frac 1 2, 1\right]}\) co najmniej jedno rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ 4t^3+4t^2-3t-4=0}\).
Niestety, chyba potrzebne są wzory Cardana (których nie umiem), żeby je znaleźć, ponieważ pierwiastki wymierne wielomianu \(\displaystyle{ 4t^3+4t^2-3t-4}\) nie istnieją.
Tutaj masz wzory Cardana:

Kod: Zaznacz cały

https://proofwiki.org/wiki/Cardano%27s_Formula

Wtedy jak dostaniesz to rozwiązanie \(\displaystyle{ t_0}\), to jego arcus sinus będzie szukanym rozwiązaniem niezerowym.

Swoją drogą, czy pewno zadanie zostało dobrze przepisane? Wolfram mi tego nie liczy, podaje tylko przybliżenie numeryczne…

[piasek101]

\(\displaystyle{ \sin 2x + \cos x = 1 \ , \ x\in \langle 0,2\pi)}\)

Jak wyznaczyć niezerowe rozwiązanie na tym przedziale?

To równanie z wymagań maturalnych ?
Jeśli tak to dwójka miała być kwadratem sinusa.

[41421356]

Dokładnie tak, dziękuję za pomoc.

[Belf]

Dokładnie tak, dziękuję za pomoc.

co to znaczy: "dokładnie tak" ?

[41421356]

Jest to moja odpowiedź na powyższe pytanie. Pozdrawiam.

[Belf]

\(\displaystyle{ \ \sin ^2x + \ \cos x = 1 \Leftrightarrow \ 1 - \ \cos ^2x +\cos x = 1}\) i po sprawie.

[piasek101]

Dla jasności - błąd jest (był - bo może już go poprawili) w samych wymaganiach, autor wątka go nie popełnił.