Równanie trygonometryczne
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ \sin 2x + \cos x = 1 \ , \ x\in \langle 0,2\pi)}\)
Jak wyznaczyć niezerowe rozwiązanie na tym przedziale?
Jak wyznaczyć niezerowe rozwiązanie na tym przedziale?
Ostatnio zmieniony 8 sie 2018, o 18:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Równanie trygonometryczne
Zauważ, że musi być \(\displaystyle{ \cos x\ge 0}\), bo inaczej masz równoważnie:
\(\displaystyle{ \cos x=1-\sin(2x)}\)
i lewa strona jest ujemna a prawa nieujemna. Zatem ograniczamy się do
\(\displaystyle{ xinleft[0, frac pi 2
ight]cupleft[ frac 3 2 pi, 2pi
ight)}\).
Wówczas możemy wstawić \(\displaystyle{ \cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}}\), niech \(\displaystyle{ t=\sin x}\), wtedy \(\displaystyle{ t\in [-1,1]}\), a równanie przyjmuje postać
\(\displaystyle{ 2t\sqrt{1-t^2}+\sqrt{1-t^2}=1}\)
Możemy to podnieść do kwadratu dokładnie wtedy, gdy lewa strona jest nieujemna, czyli gdy \(\displaystyle{ t\ge -\frac 1 2}\) (a stąd wynika dodatkowe ograniczenie \(\displaystyle{ xin left[ 0, frac pi 2
ight] cup left[ frac{11}{6}pi, 2pi
ight)}\)).
Podnosimy do kwadratu i mamy
\(\displaystyle{ (1-t^2)(1+2t)^2=1\\4t^2+4t-4t^4-4t^3-t^2=0\\ -t\left(4t^3+4t^2-3t-4 \right)=0}\).
Wartość \(\displaystyle{ 4t^3+4t^2-3t-4}\) jest ujemna dla \(\displaystyle{ t=-\frac 1 2}\), a dodatnia (mianowicie równa \(\displaystyle{ 1}\)) dla \(\displaystyle{ t=1}\), zatem z tw. Darboux mamy w przedziale
\(\displaystyle{ \left[ -\frac 1 2, 1\right]}\) co najmniej jedno rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ 4t^3+4t^2-3t-4=0}\).
Niestety, chyba potrzebne są wzory Cardana (których nie umiem), żeby je znaleźć, ponieważ pierwiastki wymierne wielomianu \(\displaystyle{ 4t^3+4t^2-3t-4}\) nie istnieją.
Tutaj masz wzory Cardana:
Wtedy jak dostaniesz to rozwiązanie \(\displaystyle{ t_0}\), to jego arcus sinus będzie szukanym rozwiązaniem niezerowym.
Swoją drogą, czy pewno zadanie zostało dobrze przepisane? Wolfram mi tego nie liczy, podaje tylko przybliżenie numeryczne…
\(\displaystyle{ \cos x=1-\sin(2x)}\)
i lewa strona jest ujemna a prawa nieujemna. Zatem ograniczamy się do
\(\displaystyle{ xinleft[0, frac pi 2
ight]cupleft[ frac 3 2 pi, 2pi
ight)}\).
Wówczas możemy wstawić \(\displaystyle{ \cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}}\), niech \(\displaystyle{ t=\sin x}\), wtedy \(\displaystyle{ t\in [-1,1]}\), a równanie przyjmuje postać
\(\displaystyle{ 2t\sqrt{1-t^2}+\sqrt{1-t^2}=1}\)
Możemy to podnieść do kwadratu dokładnie wtedy, gdy lewa strona jest nieujemna, czyli gdy \(\displaystyle{ t\ge -\frac 1 2}\) (a stąd wynika dodatkowe ograniczenie \(\displaystyle{ xin left[ 0, frac pi 2
ight] cup left[ frac{11}{6}pi, 2pi
ight)}\)).
Podnosimy do kwadratu i mamy
\(\displaystyle{ (1-t^2)(1+2t)^2=1\\4t^2+4t-4t^4-4t^3-t^2=0\\ -t\left(4t^3+4t^2-3t-4 \right)=0}\).
Wartość \(\displaystyle{ 4t^3+4t^2-3t-4}\) jest ujemna dla \(\displaystyle{ t=-\frac 1 2}\), a dodatnia (mianowicie równa \(\displaystyle{ 1}\)) dla \(\displaystyle{ t=1}\), zatem z tw. Darboux mamy w przedziale
\(\displaystyle{ \left[ -\frac 1 2, 1\right]}\) co najmniej jedno rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ 4t^3+4t^2-3t-4=0}\).
Niestety, chyba potrzebne są wzory Cardana (których nie umiem), żeby je znaleźć, ponieważ pierwiastki wymierne wielomianu \(\displaystyle{ 4t^3+4t^2-3t-4}\) nie istnieją.
Tutaj masz wzory Cardana:
Kod: Zaznacz cały
https://proofwiki.org/wiki/Cardano%27s_Formula
Wtedy jak dostaniesz to rozwiązanie \(\displaystyle{ t_0}\), to jego arcus sinus będzie szukanym rozwiązaniem niezerowym.
Swoją drogą, czy pewno zadanie zostało dobrze przepisane? Wolfram mi tego nie liczy, podaje tylko przybliżenie numeryczne…
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Równanie trygonometryczne
To równanie z wymagań maturalnych ?41421356 pisze:\(\displaystyle{ \sin 2x + \cos x = 1 \ , \ x\in \langle 0,2\pi)}\)
Jak wyznaczyć niezerowe rozwiązanie na tym przedziale?
Jeśli tak to dwójka miała być kwadratem sinusa.
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Równanie trygonometryczne
co to znaczy: "dokładnie tak" ?41421356 pisze:Dokładnie tak, dziękuję za pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Re: Równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ \ \sin ^2x + \ \cos x = 1 \Leftrightarrow \ 1 - \ \cos ^2x +\cos x = 1}\) i po sprawie.
Ostatnio zmieniony 9 sie 2018, o 16:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.