Dowód twierdzenia o okresie funkcji okresowej f(ax)

[mslonik]

Dzień dobry,

proszę o podanie dowodu następującego twierdzenia:

TW. Jeżeli \(\displaystyle{ f(x)}\) to funkcja okresowa z okresem \(\displaystyle{ P}\), to \(\displaystyle{ f(a \cdot x)}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) to niezerowa liczba rzeczywista, jest okresowa z okresem \(\displaystyle{ \frac{P}{\left| a\right| }}\).

To w zasadzie cały opis wyzwania, jakie stoi przede mną.

Próbowałem znaleźć rozwiązanie prostszego zadania:

Pokaż, że okresem \(\displaystyle{ P}\) funkcji \(\displaystyle{ \sin (x)}\) jest \(\displaystyle{ 2 \pi}\) :

Zgodnie z definicją funkcji okresowej:
\(\displaystyle{ \forall x \in D , P \neq 0}\)
\(\displaystyle{ f(x + P) = f(x)}\), gdzie P to okres funkcji f:

\(\displaystyle{ \sin (x + P) = \sin (x) \cdot \cos (P) + \cos (x) \cdot \sin (P) = \sin (x)}\)
Jeśli powyższe równania są prawdziwe, to warunek jest spełniony, o ile:
\(\displaystyle{ \left( \cos (P) = 1\right) \wedge \left( \sin (P) = 0\right)}\)
Stąd \(\displaystyle{ P = k \cdot 2 \pi}\), \(\displaystyle{ k = \pm 1, \pm 2, ...}\)

Spróbowałem wykorzystać powyższy sposób rozumowania do udowodnienia przedstawionego na początku tej wiadomości twierdzenia:

\(\displaystyle{ \sin (ax + P) = \sin (ax) \cdot \cos (P) + \cos (ax) \cdot \sin (P) = \sin (ax)}\)
ale w ten sposób dostaję błędną odpowiedź: \(\displaystyle{ P = k \cdot 2 \pi}\), \(\displaystyle{ k = \pm 1, \pm 2, ...}\)

Proszę o pomoc. Z wyrazami szacunku, mslonik.

[Janusz Tracz]

Jeśli chcesz udowodnić jakieś twierdzenie to podanie jednego przykłady nic formalnego Ci nie da. Dowód można przeprowadzić wychodząc z założeń okresowości \(\displaystyle{ f(x)}\). Wiemy że jeśli okresem \(\displaystyle{ f(x)}\) jest \(\displaystyle{ P>0}\) to:

\(\displaystyle{ \forall \left( x\in\RR\right) f(x)=f(x \pm P)}\)

Kładąc \(\displaystyle{ x \rightarrow ax}\) przy czym \(\displaystyle{ a\in\RR \setminus \left\{ 0\right\}}\) możemy rozważać nową funkcję \(\displaystyle{ g(x):=f\left( ax\right)}\) a z założeń \(\displaystyle{ f}\) mamy

\(\displaystyle{ f(ax)=f(ax \pm P)=f\left( a\left( x \pm \frac{P}{a} \right) \right)=g\left( x \pm \frac{P}{a} \right)}\)

tak więc \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją okresową. Dowolność znaków pozwala wybrać tak aby okres był dodatni (to jest częścią definicji okresu). Okresem \(\displaystyle{ g}\) jest więc \(\displaystyle{ \frac{P}{|a|}}\)

[mslonik]

Bardzo dziękuję za odpowiedź! Ta odpowiedź bardzo mi pomogła w dwójnasób: zrozumieć stosowany zapis formalny i zrozumieć sam sposób wnioskowania.

Mam jeszcze jedno pytanie: Sposób rozumowania przedstawiony przeze mnie jest nieprawidłowy. Nie potrafię jednak dostrzec tej luki.

Skoro:

\(\displaystyle{ \sin (x + P) = \sin (x) \cdot \cos (P) + \cos (x) \cdot \sin (P) = \sin (x)}\)
Jeśli powyższe równania są prawdziwe, to warunek jest spełniony, o ile:
\(\displaystyle{ \left( \cos (P) = 1\right) \wedge \left( \sin (P) = 0\right)}\)
Stąd \(\displaystyle{ P = k \cdot 2 \pi}\), \(\displaystyle{ k = \pm 1, \pm 2, ...}\)

to czemu:

\(\displaystyle{ \sin (ax + P) = \sin (ax) \cdot \cos (P) + \cos (ax) \cdot \sin (P) = \sin (ax)}\)
ale w ten sposób dostaję błędną odpowiedź: \(\displaystyle{ P = k \cdot 2 \pi}\), \(\displaystyle{ k = \pm 1, \pm 2, ...}\)

?

Czy ja w ogóle prawidłowo dochodzę do wniosku, że okresem f-cji \(\displaystyle{ \sin (x)}\) jest \(\displaystyle{ 2 \pi}\)?

[Lider_M]

Jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=\sin ax}\), to \(\displaystyle{ f(x+P)=\sin\left[a(x+P)\right]}\).

[Janusz Tracz]

O \(\displaystyle{ P}\) możesz myśleć jak o okresie podstawowym czyli jak o najmniejszej dodatniej liczbie dla której \(\displaystyle{ f(x)=f(x+P)}\). Jeśli \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\) to faktycznie \(\displaystyle{ P_k=2k\pi}\) będzie spełniać to założenia ale najmniejsze z \(\displaystyle{ P_k}\) jest \(\displaystyle{ P=2\pi}\). Faktem jest że:

\(\displaystyle{ \sin x=\sin\left( x+2\pi\right)}\)

Pytanie brzmi jaki okres ma \(\displaystyle{ f(x)=\sin\left( ax\right)}\) dla \(\displaystyle{ a\in\left( 0, \infty \right)}\)? Wiemy z obliczeń że \(\displaystyle{ \sin\left( ax\right)=\sin\left( ax+2\pi\right)=\sin\left( a\left( x+ \frac{2\pi}{a} \right) \right)}\). Wystarczy teraz zauważyć że prawa strona to \(\displaystyle{ f\left( x+ \frac{2\pi}{a} \right)}\). Więc funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) po lewej jest równa \(\displaystyle{ f\left( x+ \frac{2\pi}{a} \right)}\) po prawej czyli okres \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{a}}\).

PS. Rozważam wyłącznie \(\displaystyle{ a>0}\) ze względu na twierdzenie pierwsze oraz nieparzystość sinusa.

[mslonik]

Dziękuję za kolejne odpowiedzi. Temat uważam za zamknięty. Bardzo szybko uzyskałem wyczerpującą pomoc, czego prawdę mówiąc się nie spodziewałem

-- 11 lip 2018, o 23:51 --

Jednak wracam do tematu. Niestety nie rozumiem jednego kroku w przedstawionym dowodzie:

\(\displaystyle{ f\left( a\left( x \pm \frac{P}{a} \right) \right)=g\left( x \pm \frac{P}{a} \right)}\)

Czemu funkcja \(\displaystyle{ f}\) zmienia się w funkcję \(\displaystyle{ g}\)?

Sam pomysł na przeprowadzenie dowodu rozumiem. Jest to dowód wprost. Staramy się wykazać, że poprzez podstawienie \(\displaystyle{ x \rightarrow ax}\) i przekształceania funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ f(ax)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) można pokazać, że okres to odpowiednio \(\displaystyle{ P}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{P}{a}}\).

Próbując zastosować ten dowód dla szczególnego przypadku, gdy \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ sin}\), co formalnie chyba powinno zostać zapisane tak: \(\displaystyle{ f(x):=sin(x)}\), otrzymuję
\(\displaystyle{ sin(2x)=sin(2x \pm 2 \pi)=sin \left( 2x \pm2 \pi \right) = sin \left( 2 \left(x \pm \frac{2 \pi}{2} \right) \right) = g \left(x \pm \pi \right)}\)

Innymi słowy nie rozumiem, czemu mogę uznać, że \(\displaystyle{ g}\) to nadal \(\displaystyle{ sin}\). Mało tego, gdyby \(\displaystyle{ g}\) to byłby \(\displaystyle{ sin}\), to równanie \(\displaystyle{ sin(2x) = sin(x \pm \pi)}\) byłoby nieprawdziwe.-- 12 lip 2018, o 11:16 --Sprawa jest dla mnie na tyle istotna, że do niej wracam.

Niech \(\displaystyle{ f}\) to będzie funkcja okresowa o okresie \(\displaystyle{ P}\):
\(\displaystyle{ f(x)=f(x + P)}\)
Na przykład:
\(\displaystyle{ f(x) = \sin (x) = \sin (x +2 \pi)}\)

Teraz:
\(\displaystyle{ f(x) \vert_{x \mapsto ax}}\) co daje \(\displaystyle{ f(ax) = g(x)}\)
Na przykład:
\(\displaystyle{ \sin (x) \vert_{x \mapsto 2x}}\) co daje \(\displaystyle{ sin(2x) = g(x)}\)

Mamy więc kolejną funkcję okresową \(\displaystyle{ g}\) o okresie \(\displaystyle{ K}\):
\(\displaystyle{ g(x) = g(x+K)}\)

Przekształcenia:
\(\displaystyle{ f(ax) = f(ax + K) = f\left( a \left( x + \frac{K}{a} \right) \right)}\)
Na przykład:
\(\displaystyle{ \sin (2x) = \sin (2x + K) = \sin \left( 2 \left(x + \frac{K}{2} \right) \right)}\)

I tu utykam, bo teraz nie potrafię wskazać związku między \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ P}\).