cyklometryczne

[g-dreamer]

Narysuj wykres:
\(\displaystyle{ \arccos(\cos x) = y}\)
\(\displaystyle{ \cos x}\) jest funkcją okresową, więc wystarczy narysować wykres dla \(\displaystyle{ x [0; \pi]}\) i \(\displaystyle{ [\pi; 2\pi]}\)
Dla pierwszego przedziału, wiadomo, z definicji wychodzi, że \(\displaystyle{ \arccos(\cos(x))=x}\)
Dla drugiego przedziału robię przez podstawienie:
\(\displaystyle{ x=u+\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ u [0;\pi]}\)
więc:
\(\displaystyle{ \cos(u+\pi)= -\cos(u)}\)
i teraz nie wiem, co dalej, bo wychodzi:
\(\displaystyle{ \arccos(-\cos(u))= ?}\)
W sumie powinienem skorzystać z twierdzenia, że:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in X} f^{-1}(f(x))=x}\)
ale -cos to nie jest funkcja odwrotna dla arccos.
Zadanie z Gewerta i Skoczylasa anal 1.
Z odpowiedzi z tyłu książki wynika, że to będzie \(\displaystyle{ \begin{cases} x \qquad dla \ x\in[0+k\pi;\pi+k\pi] \\ \pi-x \ dla \ x\in[\pi+k\pi;2\pi+k\pi] \end{cases}}\), czyli taki zygzak dotykający czasami osi OX.

[Lorek]

Ta funkcja "z odpowiedzi" jest niepoprawna (tak w ogóle to nie jest funkcja, bo ile to jest \(\displaystyle{ f(\pi)}\)?) spróbuj obliczyć \(\displaystyle{ f(2\pi)}\) na 2 sposoby. A co do samego rozwiązania to podstaw: \(\displaystyle{ x=2pi-u, ; uin[0,pi)}\)

[g-dreamer]

Hehe.
\(\displaystyle{ \cos(x) = sin(x+\frac{\pi}{2}) \\
\arccos(-\cos(u))= \arccos(-sin(u+\frac{\pi}{2}+2\pi))=\\
\arccos(sin(\frac{5\pi}{2}-u))=\arccos(cos(2\pi-u))=y=2\pi-u}\)
I z wykresem miałeś rację, zamiast \(\displaystyle{ \pi-x}\) ma być \(\displaystyle{ 2\pi-x}\) (źle spojrzałem).

Jakby ktoś chciał:
c)
\(\displaystyle{ \sin(\arccos(x))=y=\sin(\arcsin \sqrt{1-x^{2}})=\sqrt{1-x^{2}}\\
=>1-x^{2}\geqslant0\\
=> -1 qslant \sqrt{1-x^{2}} qslant 1 \\
jak \ policzymy\ wyjdzie, ze\ x [-1;1]}\)
d)
\(\displaystyle{ y=\arccos(\sin x)\\
x [0;\pi]:\ z\ tego\ ze\ \sin x=\cos(x-\frac{\pi}{2})\\
x [\pi;2\pi]: \\
x=u+\pi \\
y=\arccos(\sin x)=\arccos(\cos(u+\pi-\frac{\pi}{2}))=\arccos(-\sin u)\\
=\arccos(\cos(-u+\frac{\pi}{2}))=-u+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}-x=y}\)