Oblicz wartość ilorazu sinusów.
-
Maren12
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 18 sty 2017, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Oblicz wartość ilorazu sinusów.
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{2\pi}{5}}\). Wynik to\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} }{4}}\). Sam próbowałem kilka razy na różne sposoby jednak za każdym razem się zatrzymuję i nie wiem jak dojść do tego \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\). Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 29 maja 2018, o 13:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Oblicz wartość ilorazu sinusów.
Jest to iloczyn nie iloraz sinusów.
Na przykład konstruujemy bok dziesięciokąta foremnego w kole jednostkowym (o promieniu 1).
Obliczamy długość jego boku \(\displaystyle{ a = \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\)
Z twierdzenia kosinusów (Carnota) dla trójkąta równoramiennego o ramionach długości \(\displaystyle{ 1}\) i podstawie \(\displaystyle{ a = \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\) obliczamy wartość \(\displaystyle{ \cos(36^{o})}\)
\(\displaystyle{ \cos(36^{o}) = \frac{1 +\sqrt{5}}{4}}\) (1)
Z jedynki trygonometrycznej obliczamy wartość
\(\displaystyle{ \sin(36^{o}) = \frac{\sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}}\) (2)
Podstawiamy (1) , (2) do (3)
\(\displaystyle{ \sin(36^{o})\cdot \sin(2\cdot 36^{o}) = 2 \sin^2(36^{o})\cdot \cos(36^{o})}\) (3)
Na przykład konstruujemy bok dziesięciokąta foremnego w kole jednostkowym (o promieniu 1).
Obliczamy długość jego boku \(\displaystyle{ a = \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\)
Z twierdzenia kosinusów (Carnota) dla trójkąta równoramiennego o ramionach długości \(\displaystyle{ 1}\) i podstawie \(\displaystyle{ a = \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\) obliczamy wartość \(\displaystyle{ \cos(36^{o})}\)
\(\displaystyle{ \cos(36^{o}) = \frac{1 +\sqrt{5}}{4}}\) (1)
Z jedynki trygonometrycznej obliczamy wartość
\(\displaystyle{ \sin(36^{o}) = \frac{\sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}}\) (2)
Podstawiamy (1) , (2) do (3)
\(\displaystyle{ \sin(36^{o})\cdot \sin(2\cdot 36^{o}) = 2 \sin^2(36^{o})\cdot \cos(36^{o})}\) (3)
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Oblicz wartość ilorazu sinusów.
Popatrzmy na takie wyrażenie:
\(\displaystyle{ A=\cos \frac \pi 5 \cos \frac {2\pi}{5}}\)
Mamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta
\(\displaystyle{ 4A \sin \frac \pi 5=2\cos \frac{2\pi}{5}\sin \frac{2\pi}{5}=\sin \frac{4\pi}{5}=\sin \frac \pi 5}\), stąd po podzieleniu stronami przez \(\displaystyle{ \sin \frac \pi 5}\) mamy \(\displaystyle{ A=\frac 1 4}\).
Z drugiej strony
\(\displaystyle{ \cos \frac{2\pi}{5}=2\cos^2\left( \frac \pi 5\right) -1}\), więc
\(\displaystyle{ \frac 1 4=A=2\cos^3\frac \pi 5-\cos \frac \pi 5}\), a tymczasem
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{2\pi}{5}=2\sin^2 \frac \pi 5\cos \frac \pi 5=\\=2\cos \frac \pi 5-2\cos^3 \frac \pi 5=\cos \frac \pi 5-\frac 1 4}\),
natomiast
\(\displaystyle{ \cos \frac \pi 5= \frac{\sqrt{5}+1}{4}}\).-- 28 maja 2018, o 21:17 --Chociaż i tak porządnie byłoby wyprowadzić wartość tego cosinusa. W sumie pozostaje mi z uznaniem spojrzeć na rozwiązanie janusza47, bo równań trzeciego stopnia nie umiem rozwiązywać.
\(\displaystyle{ A=\cos \frac \pi 5 \cos \frac {2\pi}{5}}\)
Mamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta
\(\displaystyle{ 4A \sin \frac \pi 5=2\cos \frac{2\pi}{5}\sin \frac{2\pi}{5}=\sin \frac{4\pi}{5}=\sin \frac \pi 5}\), stąd po podzieleniu stronami przez \(\displaystyle{ \sin \frac \pi 5}\) mamy \(\displaystyle{ A=\frac 1 4}\).
Z drugiej strony
\(\displaystyle{ \cos \frac{2\pi}{5}=2\cos^2\left( \frac \pi 5\right) -1}\), więc
\(\displaystyle{ \frac 1 4=A=2\cos^3\frac \pi 5-\cos \frac \pi 5}\), a tymczasem
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{2\pi}{5}=2\sin^2 \frac \pi 5\cos \frac \pi 5=\\=2\cos \frac \pi 5-2\cos^3 \frac \pi 5=\cos \frac \pi 5-\frac 1 4}\),
natomiast
\(\displaystyle{ \cos \frac \pi 5= \frac{\sqrt{5}+1}{4}}\).-- 28 maja 2018, o 21:17 --Chociaż i tak porządnie byłoby wyprowadzić wartość tego cosinusa. W sumie pozostaje mi z uznaniem spojrzeć na rozwiązanie janusza47, bo równań trzeciego stopnia nie umiem rozwiązywać.