tw.sinusów/tw.cosinusów

[piwne_oko]

w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ |AC|=b \ |AB|=c \ kat BAC=2\alpha}\) , poprowadzono dwusieczną \(\displaystyle{ AD}\) kąta wewnętrznego \(\displaystyle{ BAC}\).Oblicz \(\displaystyle{ |CD|^{2}-|BD|^{2}}\)

[robin5hood]

Korzystam z twierdzenia o dwusiecznej
\(\displaystyle{ \frac{|CD|}{b}=\frac{|BD|}{c}}\)
z twierdzenia cosinusów mamy
\(\displaystyle{ (CD+BD)^2=b^2+c^2-2bccos2\alpha}\)
zatem
\(\displaystyle{ BD^2=\frac{c^2(b^2+c^2-2bccos2\alpha)}{(b+c)^2}}\)
\(\displaystyle{ CD^2=\frac{b^2(b^2+c^2-2bccos2\alpha)}{(b+c)^2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ CD^2-BD^2=\frac{(b^2-c^2)(b^2+c^2-2bccos2\alpha)}{(b+c)^2}}\)