Dowód na wartość sinusa z 45-stopniowego kąta

[Lenin2046]

Proszę wykazać (nie stosując do tego Twierdzenia Pitagorasa ani innych funkcji trygonometrycznych), że sinus z kąta miary 45 stopni zawsze będzie miał wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }.}\)

[a4karo]

A jak definiujesz sinus kąta?
Możesz wyszczególnic czego można używać?

Np czy można zsumowac szereg?

[PoweredDragon]

Myślę, że chodzi o coś takiego (ma On 15 lat, więc...)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sin 45^o}\) może przyjmować różne wartości w zależności od trójkąta.

Dane są dwa trójkąty prostokątne o kątach \(\displaystyle{ 45^o, 45^o, 90^o}\) i bokach \(\displaystyle{ a, a, c}\) i \(\displaystyle{ e, e, g}\). Wówczas \(\displaystyle{ \sin 45^o = \frac{a}{c}}\) i \(\displaystyle{ \sin 45^o = \frac{e}{g}}\)
Ale podane trójkąty są podobne (kąt-kąt-kąt), a zatem \(\displaystyle{ e = ka}\) i \(\displaystyle{ g = kc}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k>0}\) i \(\displaystyle{ k \neq 1}\), stąd \(\displaystyle{ \frac{e}{g}=\frac{ka}{kc}=\frac{a}{c}}\), co jest sprzeczne z naszym założeniem.

[Lenin2046]

Podam to na przykładzie równoramiennego trójkąta prostokątnego, bo o tym jest mowa.



I na tym to polega. Szukam innych dowodów na Twierdzenie Pitagorasa niż te czysto geometryczne. Jakbym chciał znaleźć sposób na prawdziwość Twierdzenia Pitagorasa poprzez hipotezy zawarte właśnie w tym twierdzeniu, to trochę miałbym lipę. Potrzebuję ogarnąć to w sensie arytmetyki, abstrakcyjnym. I do tego mi jest potrzebny ścisły dowód na określenie przeciwprostokątnej przechodzącej pod kątem 45 stopni względem przylegającej do niej przyprostokątnej, bo tak idzie dość prosto to określić. Oczywiście, każde wyjaśnienie będzie dobre, jeśli będzie podane w formie możliwie jak najbardziej arytmetycznie bądź algebraicznie.

[kruszewski]

A taka informacja
432437.htm#p5544561
z apendiksem, że "kąt o mierze \(\displaystyle{ 45^o}\) równej ósmej części kąta pełnego to kąt u podstawy trójkąta prostokątnego równoramiennego", nie wystarczy?

Czy cytata o liczbach rządzących pochodzi od Wołgina czy gaździny z Poronina?

[karolex123]

Nie bardzo wiem czego autor oczekuje, ale jeśli zechce abstrakcyjnie podejść do zagadnienia niech popatrzy jak do tych kwestii odnosi się algebra liniowa. Sinus kąta (zmiennej rzeczywistej) możemy też zdefiniować analitycznie za pomocą funkcji \(\displaystyle{ \exp}\) na płaszczyźnie zespolonej...

[kruszewski]

"Autor" oczekuje nie użycia określenia, nawet ukrytego, przeciwprostokątna i jej kwadrat
A na płaszczyznę zespoloną rzeczywiście nie zaglądałem.

Serdeczności zasyłam,
W.Kr.

[Sylwek]

Co prawda było odniesienie do innego tematu, ale myślę, że warto i tu to umieścić.

Łącząc wierzchołek kąta prostego ze środkiem przeciwprostokątnej dostajemy mniejszy trójkąt 90-45-45, podobny do wyjściowego. Z definicji sinusa i z tego podobieństwa mamy dwie równości
\(\displaystyle{ \sin 45^o = \frac{a}{x} = \frac{\frac{x}{2}}{a}}\).

Zatem \(\displaystyle{ \frac{a}{x} = \frac{\frac{x}{2}}{a} \iff \frac{a^2}{x^2}=\frac{1}{2}}\).

Stąd natychmiast \(\displaystyle{ \frac{a}{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}}\).

[rubiccube]

W tw. Pitagorasa założenie jest tylko o kącie 90 stopni, więc rozpatrywanie tylko jednego z nieskończenie wielu trójkątów prostokątnych nie jest ani trochę bliskie dowodu.

[kruszewski]

Ależ nie o to idzie. Treść zadania to :
"Proszę wykazać (nie stosując do tego Twierdzenia Pitagorasa ani innych funkcji trygonometrycznych), że sinus z kąta miary 45 stopni zawsze będzie miał wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)"
i rozumiem zadanie jako okazanie tej prawdy bez odwoływania się do tw. Pitagorasa, że kwadrat na przeciwprostokątnej ma pole równe .... , czyli pokazanie, że istnieje inny sposób niż użycie do tego twierdzenia Pitagorasa.

[a4karo]

A ja sądzę, że chodzi o to, żeby udowodnić geometryczne twierdzenie niegeometrycznymi metodami

I do tego mi jest potrzebny ścisły dowód na określenie przeciwprostokątnej przechodzącej pod kątem 45 stopni

Ten fragment ze pokazuje, że autor raczej nie wie czego chce.

Dowodów twierdzenia potrafią jest mnóstwo - wystarczy poszukać

[kruszewski]

Zauważamy, że przekątna kwadratu jest nachylona do jego boku pod kątem \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) .
Zapytajmy o to, czy stosunek miary boku kwadratu do miary jego przekątnej jest stały i równy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) niezależnie od miary boku kwadratu nie używając do tej odpowiedzi twierdzenia Pitagorasa.

Umawiając się, że stosunek miar boków prostokąta przeciwległych kątowi do przekątnej prostokąta nazywamy sinusem tego kąta (wg innej umowy wstawą) pytamy zatem o wartość sinusa kąta nachylenia przekątnej kwadratu do jego boku.