Nierówność trygonometryczna

[Ichigo0]

Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ \frac{2 \cos x- \sqrt{3} }{\cos ^2x} < 0}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0;2 \pi \raight\rangle}\) .
Próbowałam zrobić to zadanie, ale mi nie wychodzi poprawny wynik. Co mam źle.
\(\displaystyle{ \frac{2\cos x- \sqrt{3} }{\cos ^2 x} = \frac{2 \cos ^2 x-1- \sqrt{3} }{\cos ^2 x} = \frac{2 \cos ^2 x}{\cos ^2 x} - \frac{1+ \sqrt{2} }{\cos ^2 x} \\ \\ 2 - \frac{1+ \sqrt{3} }{\cos ^2 x}<0 \\ \\ 2 \cos ^2x - (1+ \sqrt{3}) \\ \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } + \frac{ \sqrt{3} }{1} = \frac{3 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } \\ 2 \cos ^2 x< \frac{3 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } \\ \frac{3 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } \cdot \frac{1}{2}= \frac{3 \sqrt{3} }{2 \sqrt{3} }= \frac{3}{2}\\ \\ \cos ^2 x < \frac{3}{2} \\ \cos x < \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ x\in \{\emptyset\}.}\)

[Dilectus]

Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ \frac{2 \cos x- \sqrt{3} }{\cos ^2x} < 0}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0;2 \pi \raight\rangle}\)

Mianownik jest zawsze nieujemny, więc

\(\displaystyle{ \frac{2 \cos x- \sqrt{3} }{\cos ^2x} < 0 \ \Leftrightarrow \ 2 \cos x- \sqrt{3} <0}\)

Dalej sobie poradzisz?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ x\in \{\emptyset\}.}\)

Coś Ci nie wyszło. Zbiór pusty nie jest liczbą rzeczywistą, a Ty napisałeś, że \(\displaystyle{ x=\emptyset}\).

Mianownik jest zawsze większy od zera, więc

\(\displaystyle{ \frac{2 \cos x- \sqrt{3} }{\cos ^2x} < 0 \ \Leftrightarrow \ 2 \cos x- \sqrt{3} <0}\)

To też nie jest prawda, co powiesz o \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\) ?

JK

[kinia7]

\(\displaystyle{ \frac{2 \cos x- \sqrt{3} }{\cos ^2x} < 0}\)
ponieważ mianownik nigdy nie jest ujemny, więc nierówność jest spełniona gdy
\(\displaystyle{ 2 \cos x- \sqrt{3}<0}\)
\(\displaystyle{ \cos x<\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x\in\left( \frac{1}{6} \pi,\, \frac{11}{6} \pi\right)}\)

[Premislav]

Ta równość jest niepoprawna:
\(\displaystyle{ \frac{2\cos x- \sqrt{3} }{\cos ^2 x} = \frac{2 \cos ^2 x-1- \sqrt{3} }{\cos ^2 x}}\)

\(\displaystyle{ x\in \{\emptyset\}.}\)

Co proszę?

kinia7, jeszcze o dziedzinie trzeba pamiętać.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \frac{2 \cos x- \sqrt{3} }{\cos ^2x} < 0}\)
ponieważ mianownik nigdy nie jest ujemny, więc nierówność jest spełniona gdy
\(\displaystyle{ 2 \cos x- \sqrt{3}<0}\)
\(\displaystyle{ \cos x<\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x\in\left( \frac{1}{6} \pi,\, \frac{11}{6} \pi\right)}\)

I to też nie jest prawda. Uważasz, że nierówność wyjściowa jest spełniona dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\) ?

JK

[kinia7]

Nie uważam tak!
Poprawiam się: \(\displaystyle{ x\in \left(\frac{1}{6} \pi,\, \frac{1}{2} \pi \right) \cup \left(\frac{1}{2} \pi,\, \frac{3}{2}\pi \right) \cup \left(\frac{3}{2}\pi ,\, \frac{11}{6}\pi \right)}\)

[Dilectus]

Mianownik jest zawsze większy od zera, więc

\(\displaystyle{ \frac{2 \cos x- \sqrt{3} }{\cos ^2x} < 0 \ \Leftrightarrow \ 2 \cos x- \sqrt{3} <0}\)

To też nie jest prawda, co powiesz o \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\) ?

JK

JK, masz rację. Chodziło mi oczywiście o to, że mianownik jest zawsze nieujemny, co już poprawiłem w swoim poście. Dziękuję.

[janusz47]

W pierwszej wersji ta nierówność nie miała kosinusa w liczniku i była w postaci:

\(\displaystyle{ \frac{2 -\sqrt{3}}{\cos^2(x)}<0.}\)

[Jan Kraszewski]

W pierwszej wersji ta nierówność nie miała kosinusa w liczniku i była w postaci:

\(\displaystyle{ \frac{2 -\sqrt{3}}{\cos^2(x)}<0.}\)

Istotnie, post był poprawiany przez autorkę, ale dla tej pierwszej wersji Twoja odpowiedź też nie była poprawna. Zapewne chciałeś napisać \(\displaystyle{ x\in\emptyset}\) (zawsze osłabia mnie ten zapis, ale jest w szkole używany).

JK

[dirtyhell943]

Z ciekawości, co złego jest w zapisie \(\displaystyle{ x\in\emptyset}\)?

[Premislav]

1) Jest to odbicie tendencji do pisania bez użycia języka polskiego, samymi znaczkami, a to zdecydowanie złe przyzwyczajenie, ponieważ naprawdę kiepsko czyta się takie wywody, a poza tym wystarczy drobny błąd w oznaczeniach/konflikt oznaczeń i już wszystko się miesza (gdyby rozwiązanie było pisane pełnymi zdaniami, to nie byłoby takiego zagrożenia).
2) Ten zapis jest sztuczny, ponieważ zbiór pusty nie ma żadnych elementów.
3) Ten zapis może powodować u uczniów/studentów niezrozumienie tego, czym jest zbiór pusty. Znam przypadki ludzi, których to konsternowało.
4) To akurat subiektywne: to jest element pseudomatematycznej nowomowy, osobiście widząc coś takiego czuję się jakbym czytał artykuł z GW utkany takimi sformułowaniami, jak „mowa nienawiści", „osoba niebinarna" czy „różnorodność kulturowa".
5) Pan Kraszewski mówi, że jest w tym coś złego, więc to prawda. xDDDD

[Dilectus]

Do zbioru pustego nic nie może należeć.

[Jan Kraszewski]

5) Pan Kraszewski mówi, że jest w tym coś złego, więc to prawda. xDDDD

Czy jak w sklepie przy kasie orientujesz się, że nie wziąłeś portfela, to oznajmiasz "nie mam pieniędzy" czy też "mam zero złotych"? Dla mnie mniej więcej taka sama różnica jest pomiędzy stwierdzeniami "nie ma rozwiązań" a "\(\displaystyle{ x\in\emptyset}\)".

Jest to dla mnie przejaw pewnej niekorzystnej tendencji, że jak coś jest zapisane symbolicznie, to na pewno jest mądrzejsze.

JK