\(\displaystyle{ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 1}\)
Dochodzę do momentu i otrzymuję takie równania
\(\displaystyle{ \cos x=0 \wedge \cos x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
I wychodzą mi trzy rozwiązania
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \wedge x= \frac{ \pi }{6} + 2k \pi \wedge x= - \frac{ \pi }{6} + 2k \pi}\)
Natomiast w odpowiedziach nie ma podanego rozwiązania \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{6} + 2k \pi}\)
Chciałbym się dowiedzieć dlaczego.
Równanie trygonometryczne
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 15 paź 2016, o 10:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 22 razy
Równanie trygonometryczne
Ostatnio zmieniony 13 maja 2018, o 14:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Równanie trygonometryczne
Chyba najszybciej można to rozwiązać, dzieląc równanie stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i dopatrując się po lewej stronie np. wzoru na cosinus różnicy:
\(\displaystyle{ \cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cos \beta+\sin \alpha\sin \beta}\)
\(\displaystyle{ \cos \frac \pi 6\cos x+\sin \frac \pi 6\sin x=\frac 1 2\\\cos\left( x-\frac \pi 6\right) =\cos \frac \pi 3}\)
itd.
Natomiast nie wiem, jak dochodzisz do wspomnianego \(\displaystyle{ \cos x=0 \wedge \cos x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\), a poza tym coś takiego nie może zajść, może Ci chodziło o
\(\displaystyle{ \cos x=0 {\red \vee } \cos x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\).
Pokaż swoje obliczenia, to będzie można coś więcej powiedzieć.
\(\displaystyle{ \cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cos \beta+\sin \alpha\sin \beta}\)
\(\displaystyle{ \cos \frac \pi 6\cos x+\sin \frac \pi 6\sin x=\frac 1 2\\\cos\left( x-\frac \pi 6\right) =\cos \frac \pi 3}\)
itd.
Natomiast nie wiem, jak dochodzisz do wspomnianego \(\displaystyle{ \cos x=0 \wedge \cos x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\), a poza tym coś takiego nie może zajść, może Ci chodziło o
\(\displaystyle{ \cos x=0 {\red \vee } \cos x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\).
Pokaż swoje obliczenia, to będzie można coś więcej powiedzieć.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Równanie trygonometryczne
Dla takiego cosinusa to jest spełnione, ale dla \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{6}+2 k \pi}\) mamy
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{1}{2}, \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Więc \(\displaystyle{ L = 2}\). To jest spełnione dla \(\displaystyle{ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin x = - \frac{1}{2}}\), czyli dla czwartej ćwiartki. Musiałeś jakoś wygenerować dodatkowy wynik (pewnie tak lub podobnie):
No i jest ok, pod warunkiem, że pamiętasz o eliminacji pierwiastków obcych tego równania...
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{1}{2}, \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Więc \(\displaystyle{ L = 2}\). To jest spełnione dla \(\displaystyle{ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin x = - \frac{1}{2}}\), czyli dla czwartej ćwiartki. Musiałeś jakoś wygenerować dodatkowy wynik (pewnie tak lub podobnie):
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 15 paź 2016, o 10:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 22 razy
Równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ \sin x=1- \sqrt{3} \cos x}\)
Podstawiam do jedynki i wyciągam \(\displaystyle{ \cos x}\) przed nawias
\(\displaystyle{ \cos x(4\cos x-2 \sqrt{3})=0\\
\cos x=0 \vee \cos x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
to są obliczenia
Co to znaczy pierwiastków obcych ?
Podstawiam do jedynki i wyciągam \(\displaystyle{ \cos x}\) przed nawias
\(\displaystyle{ \cos x(4\cos x-2 \sqrt{3})=0\\
\cos x=0 \vee \cos x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
to są obliczenia
Co to znaczy pierwiastków obcych ?
Ostatnio zmieniony 13 maja 2018, o 14:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj LaTeXa TYLKO do wyrażeń matematycznych. Nie zostawiaj wolnych linii w tagach[latex] [/latex] . Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \l
Powód: Używaj LaTeXa TYLKO do wyrażeń matematycznych. Nie zostawiaj wolnych linii w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ x = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x^2 = 2}\)
\(\displaystyle{ x = \sqrt{2} \vee x = - \sqrt{2}}\)
Są operacje mogące wygenerować dodatkowe rozwiązania - podnoszenie do kwadratu jest jedną z nich (podczas gdy, co oczywiste, rozwiązanie pierwotnego rozwiązania jest np. dodatnie, to podniesienie do kwadratu wygeneruje też rozwiązanie ujemne - rozwiązanie wygenerowane dodatkowo, nie będące rozwiązaniem pierwotnego nazywamy obcym.)
Pierwiastek jest, o ile się nie myle, terminem zarezerwowanym dla wielomianów (gdybyś podstawił \(\displaystyle{ \sin x = t}\), to po podniesieniu do kwadratu wygenerowałbyś pierwiastek obcy \(\displaystyle{ t = \frac{1}{2}}\)).
\(\displaystyle{ x^2 = 2}\)
\(\displaystyle{ x = \sqrt{2} \vee x = - \sqrt{2}}\)
Są operacje mogące wygenerować dodatkowe rozwiązania - podnoszenie do kwadratu jest jedną z nich (podczas gdy, co oczywiste, rozwiązanie pierwotnego rozwiązania jest np. dodatnie, to podniesienie do kwadratu wygeneruje też rozwiązanie ujemne - rozwiązanie wygenerowane dodatkowo, nie będące rozwiązaniem pierwotnego nazywamy obcym.)
Pierwiastek jest, o ile się nie myle, terminem zarezerwowanym dla wielomianów (gdybyś podstawił \(\displaystyle{ \sin x = t}\), to po podniesieniu do kwadratu wygenerowałbyś pierwiastek obcy \(\displaystyle{ t = \frac{1}{2}}\)).