Równanie trygonometryczne

[Tajemniczy59]

\(\displaystyle{ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 1}\)

Dochodzę do momentu i otrzymuję takie równania

\(\displaystyle{ \cos x=0 \wedge \cos x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

I wychodzą mi trzy rozwiązania

\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \wedge x= \frac{ \pi }{6} + 2k \pi \wedge x= - \frac{ \pi }{6} + 2k \pi}\)

Natomiast w odpowiedziach nie ma podanego rozwiązania \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{6} + 2k \pi}\)

Chciałbym się dowiedzieć dlaczego.

[Premislav]

Chyba najszybciej można to rozwiązać, dzieląc równanie stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i dopatrując się po lewej stronie np. wzoru na cosinus różnicy:
\(\displaystyle{ \cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cos \beta+\sin \alpha\sin \beta}\)
\(\displaystyle{ \cos \frac \pi 6\cos x+\sin \frac \pi 6\sin x=\frac 1 2\\\cos\left( x-\frac \pi 6\right) =\cos \frac \pi 3}\)
itd.
Natomiast nie wiem, jak dochodzisz do wspomnianego \(\displaystyle{ \cos x=0 \wedge \cos x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\), a poza tym coś takiego nie może zajść, może Ci chodziło o
\(\displaystyle{ \cos x=0 {\red \vee } \cos x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\).
Pokaż swoje obliczenia, to będzie można coś więcej powiedzieć.

[PoweredDragon]

Dla takiego cosinusa to jest spełnione, ale dla \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{6}+2 k \pi}\) mamy

\(\displaystyle{ \sin x = \frac{1}{2}, \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Więc \(\displaystyle{ L = 2}\). To jest spełnione dla \(\displaystyle{ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin x = - \frac{1}{2}}\), czyli dla czwartej ćwiartki. Musiałeś jakoś wygenerować dodatkowy wynik (pewnie tak lub podobnie):

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sin^2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 1}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{3} \sin x \cos x = - 2 \cos^2 x}\)
\(\displaystyle{ 12 \cos ^2 x - 12 \cos^4 x = 4 \cos^4 x}\)
\(\displaystyle{ 16 \cos^4 x - 12 \cos^2 x = 0}\)
\(\displaystyle{ 4\cos^2 x (4 \cos^2 x - 3) = 0}\)
\(\displaystyle{ \cos^2 x ( \cos^2x - \frac{3}{4}) = 0}\)
\(\displaystyle{ \cos x = 0 \vee \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

No i jest ok, pod warunkiem, że pamiętasz o eliminacji pierwiastków obcych tego równania...

[Tajemniczy59]

\(\displaystyle{ \sin x=1- \sqrt{3} \cos x}\)

Podstawiam do jedynki i wyciągam \(\displaystyle{ \cos x}\) przed nawias

\(\displaystyle{ \cos x(4\cos x-2 \sqrt{3})=0\\
\cos x=0 \vee \cos x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

to są obliczenia

Co to znaczy pierwiastków obcych ?

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ x = \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ x^2 = 2}\)

\(\displaystyle{ x = \sqrt{2} \vee x = - \sqrt{2}}\)
Są operacje mogące wygenerować dodatkowe rozwiązania - podnoszenie do kwadratu jest jedną z nich (podczas gdy, co oczywiste, rozwiązanie pierwotnego rozwiązania jest np. dodatnie, to podniesienie do kwadratu wygeneruje też rozwiązanie ujemne - rozwiązanie wygenerowane dodatkowo, nie będące rozwiązaniem pierwotnego nazywamy obcym.)

Pierwiastek jest, o ile się nie myle, terminem zarezerwowanym dla wielomianów (gdybyś podstawił \(\displaystyle{ \sin x = t}\), to po podniesieniu do kwadratu wygenerowałbyś pierwiastek obcy \(\displaystyle{ t = \frac{1}{2}}\)).