Zależność kątów w trójkącie

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Zależność kątów w trójkącie

Post autor: matematykipatyk »

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha, \beta , \gamma}\) są kątami wewnętrznymi trójkąta i
\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha +\sin ^{2} \beta < \sin ^{2}\gamma}\) , to \(\displaystyle{ \cos \gamma < 0}\)

\(\displaystyle{ \gamma =180^\circ - \left( \alpha +\beta \right)}\)

\(\displaystyle{ \sin \gamma = \sin \left( 180^{o} - \left( \alpha +\beta \right) \right) = \sin \left( \alpha +\beta \right) \\
\sin ^2\alpha+\sin ^2\beta < \left( \sin \alpha \cos \beta+ \cos \alpha \sin \beta \right) ^2 \\
\sin ^2\alpha+\sin ^2\beta < \sin ^2 \alpha \cos ^2 \beta +2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta + \cos ^2\alpha \sin ^2 \beta \\
\sin ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \cos ^2 \beta +\sin ^2 \beta - \cos ^2 \alpha \sin ^2 \beta < 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta \\
\sin ^2 \alpha \left( 1-\cos ^2 \beta \right) + \sin ^2 \beta \left( 1-\cos ^2 \alpha \right) < 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta \\
2 \sin ^2 \alpha \sin ^2\beta < 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta \\
\sin ^2 \alpha \sin ^2\beta < \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta \\
\sin \alpha \sin \beta< \cos \alpha \cos \beta \\
\cos \left( \alpha+\beta \right) >0}\)

\(\displaystyle{ \alpha+\beta< 90^\circ}\) (tutaj nie rozumię dlaczego tak jest) więc \(\displaystyle{ \gamma>90^\circ}\). Czyli \(\displaystyle{ \cos \gamma <0}\) .
Ostatnio zmieniony 4 maja 2018, o 23:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Zależność kątów w trójkącie

Post autor: PoweredDragon »

Czego nie rozumiesz? Skoro cosinus jest dodatni, to kąt należy do pierwszej ćwiartki...
Kaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 826
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 187 razy

Zależność kątów w trójkącie

Post autor: Kaf »

Swoją drogą lepiej skorzystać z tw. sinusów, a potem z tw. cosinusów.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Zależność kątów w trójkącie

Post autor: a4karo »

A jak uzasadniasz przejście z czwartej do trzeciej linijki od dołu?
ODPOWIEDZ