Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha, \beta , \gamma}\) są kątami wewnętrznymi trójkąta i
\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha +\sin ^{2} \beta < \sin ^{2}\gamma}\) , to \(\displaystyle{ \cos \gamma < 0}\)
\(\displaystyle{ \gamma =180^\circ - \left( \alpha +\beta \right)}\)
\(\displaystyle{ \sin \gamma = \sin \left( 180^{o} - \left( \alpha +\beta \right) \right) = \sin \left( \alpha +\beta \right) \\
\sin ^2\alpha+\sin ^2\beta < \left( \sin \alpha \cos \beta+ \cos \alpha \sin \beta \right) ^2 \\
\sin ^2\alpha+\sin ^2\beta < \sin ^2 \alpha \cos ^2 \beta +2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta + \cos ^2\alpha \sin ^2 \beta \\
\sin ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \cos ^2 \beta +\sin ^2 \beta - \cos ^2 \alpha \sin ^2 \beta < 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta \\
\sin ^2 \alpha \left( 1-\cos ^2 \beta \right) + \sin ^2 \beta \left( 1-\cos ^2 \alpha \right) < 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta \\
2 \sin ^2 \alpha \sin ^2\beta < 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta \\
\sin ^2 \alpha \sin ^2\beta < \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta \\
\sin \alpha \sin \beta< \cos \alpha \cos \beta \\
\cos \left( \alpha+\beta \right) >0}\)
\(\displaystyle{ \alpha+\beta< 90^\circ}\) (tutaj nie rozumię dlaczego tak jest) więc \(\displaystyle{ \gamma>90^\circ}\). Czyli \(\displaystyle{ \cos \gamma <0}\) .
Zależność kątów w trójkącie
-
- Użytkownik
- Posty: 235
- Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 88 razy
Zależność kątów w trójkącie
Ostatnio zmieniony 4 maja 2018, o 23:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Zależność kątów w trójkącie
Czego nie rozumiesz? Skoro cosinus jest dodatni, to kąt należy do pierwszej ćwiartki...