Ciekawe zadania z tożsamości trygonometrycznych

[Kartezjusz]

Robię lekcję na temat tożsamości trygonometrycznych w klasie ogólnej podczas praktyk i prosiłbym Was o pomoc w znalezieniu zadań konkursowych, które wymagają wiedzy na poziomie podstawowym matury. Chodzi o to, że są uczniowie bardzo słabi mający problem z rachunkami i uczniowie, którzy z zamkniętymi oczami mogliby robić rozszerzenie. I chciałbym, by ci slabsi nadążyli, a dobrzy - nie nudzili się.

[MrCommando]

Pierwsza myśl taka, że może warto pokazać taki niegłupi sposób wyznaczania zbioru wartości funkcji typu \(\displaystyle{ f(x)=A\sin x +B\cos x}\) ze stałymi \(\displaystyle{ A,B}\). Wyłączamy przed nawias \(\displaystyle{ \sqrt{A^2+B^2}}\) (oczywiście przy założeniu, iż stałe \(\displaystyle{ A, B}\) są niezerowe). Następnie zauważamy, że ponieważ \(\displaystyle{ \left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^2+\left(\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^2=1}\), to liczby \(\displaystyle{ \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}, \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}}\) muszą być sinusem i cosinusem tego samego kąta. Przyjmując \(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}}\) i , \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}}\), otrzymamy \(\displaystyle{ \left(\sqrt{A^2+B^2}\right)\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin x + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \cos x\right)= \left(\sqrt{A^2+B^2}\right)\left(\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x \right)= \sqrt{A^2+B^2} \cdot cos(x-\alpha)}\) (wzór na cosinus różnicy). No i jasne jest teraz, że \(\displaystyle{ -\sqrt{A^2+B^2}\leq f(x) \leq \sqrt{A^2+B^2}}\) (dlatego, że \(\displaystyle{ -1 \leq \cos t \leq 1}\)). Metoda ta przydatna jest także przy rozwiązywaniu równań, np. \(\displaystyle{ \sin x + \cos x =1}\).

[Janusz Tracz]

A może wyprowadzenie (choćby geometryczne) wzorów na \(\displaystyle{ \sin\left( \alpha + \beta \right)}\), \(\displaystyle{ \cos\left( \alpha + \beta \right)}\) itd. To uczniom słabszym pozwoli zrozumieć zrozumieć definicje i motywacje funkcji trygonometrycznych, a tym bardziej zaawansowanym też nie zaszkodzi dowiedzieć skąd biorą się wzory których się uczy na pamięć w szkołach. W trygonometrii siła tych wzorów jest nieoceniona i praktycznie wszystko z nich wynika kiedyś nawet wyprowadzałem z Premislav kawałek szkolnej trygonometrii tu.

[Kartezjusz]

Tylko jest tu taki problem, że to jest klasa na zastępstwie i prosiła bym nic nowego nie wprowadzał na najbliższej lekcji. Z tożsamości znają jedynkę, iloczyn tangensa i cotangensa oraz. reprezentację tangensa ilorazem sinusa i cosinusa.

[Zahion]

Może coś w tym kierunku :
\(\displaystyle{ \sin x \cos x \le \frac{1}{2}}\), wystarczy zastosować jedynkę i zwinąć.
\(\displaystyle{ \sin^{3} x + \cos^{3} x = 1}\), również jedynka i do postaci \(\displaystyle{ \sin^{2} x \left( 1 - \sin x \right) + \cos^{2} x\left( 1 - \cos x \right) = 0}\)
Ciekawsze zadanie dla lepszych : , które ogranicza się jedynie do sprytnego zwinięcia wyrażeń.

Wykazać, że \(\displaystyle{ \tg^{2} x + \ctg ^{2} x \ge 2}\) ( \(\displaystyle{ 2 = 2 \tg x \ctg x}\) )

Nierówność \(\displaystyle{ \sin^{4} x + \cos^{4} x \ge \frac{\left( \sin^{2} x + \cos^{2} x \right)^{2} }{2} = \frac{1}{2}}\) wykazać ( można to zrobić też za pomocy pierwszej nierówności i jedynki ).
Jeżeli potrafią rozwiązywać równania trygonometryczne to można znak równości postawić w niektórych nierównościach.