Iloczyn cos(x)

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
XYZmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 1 wrz 2017, o 11:39
Płeć: Kobieta

Iloczyn cos(x)

Post autor: XYZmat »

Witam, mam takie równanie:
\(\displaystyle{ 4\cos ^4 \left( x \right) -\cos \left( 2x \right) - \frac{1}{2}\cos \left( 4x \right) +\cos \left( \frac{3x}{4} \right) = \frac{7}{2}}\)
Dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{11x}{8} \right) \cos \left( \frac{5x}{8} \right) =1}\)
Mam wrażenie, że coś jest na rzeczy z tym, że lewa strona jest równa \(\displaystyle{ \cos \left( x+\frac{3x}{8} \right) \cos \left( x-\frac{3x}{8} \right) =1}\), ale i tak nie potrafię tego dalej poprowadzić.
Ostatnio zmieniony 13 kwie 2018, o 07:55 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Iloczyn cos(x)

Post autor: Premislav »

Przeczytaj wzór na sumę cosinusów:
\(\displaystyle{ \cos \alpha+\cos \beta=2\cos\left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left( \frac{\alpha-\beta}{2}\right)}\)
Następnie pomnóż równość
\(\displaystyle{ \cos \left( x+\frac{3x}{8} \right) \cos \left( x-\frac{3x}{8} \right) =1}\)
stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i doszukaj się po lewej stronie tej sumy cosinusów.
Jakie wartości przyjmuje funkcja cosinus
XYZmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 1 wrz 2017, o 11:39
Płeć: Kobieta

Iloczyn cos(x)

Post autor: XYZmat »

Postać \(\displaystyle{ \cos \left( 2x \right) +\cos \left( \frac{3x}{4} \right) =2}\) miałam linijkę wcześniej, ale się jej pozbyłam do formy, którą zawarłam w poście. Czyli rozumiem, że chcesz przez to powiedzieć, że już w tym momencie powinnam napisać, że jedyna możliwość, by spełnić własności \(\displaystyle{ \cos \left( x \right)}\) to \(\displaystyle{ \cos \left( 2x \right) =1}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{3x}{4} \right) =1}\), lecz nie jest to możliwe, więc otrzymałam sprzeczność.
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2018, o 23:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Iloczyn cos(x)

Post autor: Premislav »

W dobrą stronę myślisz, ale nie wiem, czy to jest taka sprzeczność, na przykład dla \(\displaystyle{ x=8\pi}\) równość zachodzi.
Z tego, że \(\displaystyle{ \cos(2x)=1}\) i \(\displaystyle{ \cos\left( \frac 3 4x\right) =1}\) wnioskujesz, że istnieją takie \(\displaystyle{ k, l \in \ZZ}\), iż:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x=2k\pi\\ \frac 3 4 x=2l \pi \end{cases}}\)
czyli prościej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=k\pi \\ x=\frac 8 3 l \pi \end{cases}}\)
stąd już podstawiając i rozważając proste podzielności/równości nietrudno wywnioskować, że ostatecznie \(\displaystyle{ x=8r\pi, \ r \in \ZZ}\) .
XYZmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 1 wrz 2017, o 11:39
Płeć: Kobieta

Iloczyn cos(x)

Post autor: XYZmat »

Faktycznie, rozważyłam część usadzoną w cosinusie jak zwykły ułamek, a pominęłam okresowość funkcji i że jednak to może być równe. Tylko ostatniego fragmentu nie rozumiem:
Premislav pisze: stąd już podstawiając i rozważając proste podzielności/równości nietrudno wywnioskować, że ostatecznie \(\displaystyle{ x=8r\pi, \ r \in \ZZ}\) .
W jaki sposób do tego dochodzisz? Po prostu wypisujesz sobie kilka możliwość i wnioskujesz z tego taką postać ostateczną, czy da się to jakoś wyciągnąć z tych dwóch rozwiązań w klamrze?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Iloczyn cos(x)

Post autor: Premislav »

Skoro \(\displaystyle{ x=k\pi=\frac 8 3 l\pi}\) (i \(\displaystyle{ k, l}\) są całkowite), to z uwagi na to, że \(\displaystyle{ \NWD(8,3)=1}\) liczba \(\displaystyle{ l}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) (inaczej \(\displaystyle{ \frac 8 3 l}\) nie będzie liczbą całkowitą). Niech więc \(\displaystyle{ r \in \ZZ}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ l=3r}\), wówczas \(\displaystyle{ x=\frac 8 3l\pi =8r\pi}\).
XYZmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 1 wrz 2017, o 11:39
Płeć: Kobieta

Iloczyn cos(x)

Post autor: XYZmat »

Teraz wszystko jasne, dziękuję
ODPOWIEDZ