Równania trygonometryczne

[ToJaKuba]

Mam przykład:
\(\displaystyle{ \sin ^{2}4x=1}\)

dalej robiłem tak
\(\displaystyle{ \sin 4x=1 \\
4x= \frac{ \pi }{2} +2k \pi \\ \\
x= \frac{ \pi }{8} + \frac{1}{2}k \pi}\)

w odpowiedzi natomiast mam
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{8} + \frac{1}{4}k \pi}\)
gdzie popelniam blad?

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ x^2 = 1}\)

Czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ x=1}\)?

[ToJaKuba]

Tak?

[PoweredDragon]

Niestety nie. Jest jeszcze jedna liczba spełniająca

\(\displaystyle{ x^2 = 1}\)
\(\displaystyle{ x^2 - 1 = 0}\)

I wzór skróconego mnożenia. Jaka to liczba?

[ToJaKuba]

\(\displaystyle{ -1 ^{2} =1}\)
Przepraszam za glupie bledy i pytania. Ostatni raz stycznosc z matematyka mialem 4 lata temu a teraz staram sie ogarnac material do matury rozszerzonej i sobie nie radze :/
Co z tym wzorem?

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ (-1)^2 = 1, -1^2 = -1}\) (tak dla ścisłości)

Stąd
\(\displaystyle{ x^2 = 1}\) oznacza, że \(\displaystyle{ x =1}\) lub \(\displaystyle{ x = -1}\)

Stąd wynika, że skoro

\(\displaystyle{ \sin^2 (4x) = 1}\), to \(\displaystyle{ \sin (4x) =1}\) lub ...

[ToJaKuba]

lub
\(\displaystyle{ \sin 4x=-1 \\
4x= \frac{ 3 }{2}\pi +2k \pi \\ \\
x= \frac{ 3 }{8} \pi+ \frac{1}{2}k \pi}\)
tak?

[PoweredDragon]

No i teraz połącz dwa wyniki i wyjdzie ci odpowiedź z książki

[ToJaKuba]

Staralem sie googlowac o laczeniu wynikow ale cos mi nie idzie. Nie mam o tym pojecia. Gdzie moge sie tego nauczyc?

[piasek101]

Tu wstęp :
130484.htm
233864.htm

A problem z tego wątku to nie był trygonometryczny a ,,kwadratowy".

[PoweredDragon]

Najprościej, żeby połączyć te wyniki na poziomie szkolnym to w brudnopisie wypisać sobie po kolei kilka wartości tego i tego, a następnie "zauważyć" wzór :V

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \sin ^{2}4x=1}\)

\(\displaystyle{ (\sin4x+1)(\sin4x-1)=0}\)

Itd.