Nierówność trygonometryczna

[maximum2000]

Wykaż, że \(\displaystyle{ 1-\frac{x}{3}<\frac{\sin x}{x}< \frac{11}{10}-\frac{x}{4}$ dla $0<x\leq\pi}\) .

[Premislav]

Wygląda na syf, ale tutaj są zdolni ludzie, więc może nawet okaże się, że pochodnych nie trzeba. Zajmę się na razie nierównością
\(\displaystyle{ 1-\frac{x}{3}<\frac{\sin x}{x}}\), żeby podbić temat, tej drugiej jeszcze nie udowodniłem.
Jeżeli \(\displaystyle{ x in [3, pi)}\), to nierówność jest oczywista, bo lewa strona jest niedodatnia, a prawa dodatnia. Jeżeli \(\displaystyle{ x \in (0,2]}\), to dla dowodu wystarczy szacowanie
\(\displaystyle{ \sin x>x-\frac{x^3}{6}}\) w dodatnich (znane, można z Taylora udowodnić albo po prostu zbadać odpowiednią funkcję), gdyż wtedy
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}>1-\frac{x^2}{6}\ge 1-\frac{x}{3}}\).
Pozostaje do rozważenia przedział \(\displaystyle{ (2,3)}\).
Przekształćmy: \(\displaystyle{ 1-\frac{x}{3}<\frac{\sin x}{x} \Leftrightarrow x-\frac{x^2}{3}< \sin x}\)
Rozważmy funkcję pomocniczą \(\displaystyle{ g(x)=\sin x-x+\frac{x^2}{3}}\). Mamy ze wzoru Maclaurina
\(\displaystyle{ g'(x)=\cos x-1+\frac 2 3 x\le 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-1+\frac{2}{3}x=\\=\frac{x}{24}\left( x^3-12x^2+16\right)<0}\)
dla \(\displaystyle{ x \in (2,3)}\), co w połączeniu z \(\displaystyle{ g(3)>0}\) daje nam dodatniość funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\) we wspomnianym przedziale, co kończy dowód.


Ciekawe, czy można bez rachunku różniczkowego, to byłoby imponujące.