Równanie trygonometryczne w przedziale.

[Szakul1]

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ 3\sin \left( x- \frac{ \pi }{4} \right)+\cos \left( x+ \frac{ \pi }{4} \right)=1}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0,2 \pi \right\rangle}\).
Zacząłem rozwiazywać równanie w ten sposób:
\(\displaystyle{ 3\sin x \frac{ \sqrt{2} }{2}-3\cos x \frac{ \sqrt{2} }{2}+\cos x \frac{ \sqrt{2} }{2}-\sin x \frac{ \sqrt{2} }{2} =1 \\
2\sin x \frac{ \sqrt{2} }{2} - 2\cos x \frac {\sqrt{2} }{2}=1 \\
\sin x - \cos x= \frac{1}{ \sqrt{2} } \ \Big|() ^{2} \\
1 - 2\sin x \cos x = \frac{1}{2} \\
2\sin x \cos x = \frac{1}{2} \\
\sin 2x = \frac{1}{2} \\
2x = \frac{ \pi }{6} + 2k \pi \ \vee \ 2x= \frac{5 \pi }{6} + 2k \pi \\
x = \frac{ \pi }{12}+k \pi \ \vee \ x= \frac{5 \pi }{12} +k \pi}\)
I to jest źle, we wszystkich odpowiedziach w internecie wychodzi \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{12} \ i \ \frac{13 \pi }{12}}\). Czy mógłby mi ktoś powiedzieć gdzie tu jest błąd?

[Premislav]

A czemu nie tak (sorry, nie chce mi się czytać rozwijania i wymnażania na pałkersona):
\(\displaystyle{ \cos\left( x-\frac \pi 4+\frac \pi 2\right) =-\sin\left( x-\frac \pi 4\right)}\)

[Szakul1]

Wiem, że tak też można, ale chciałem się dowiedzieć dlaczego robiąc tym sposobem nie wychodzi.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ 3\sin x \frac{ \sqrt{2} }{2}-3\cos x \frac{ \sqrt{2} }{2}+\cos x \frac{ \sqrt{2} }{2}-\sin x \frac{ \sqrt{2} }{2} =1}\)

Paskudny zapis. Stałe powinny być przed funkcjami, tak to wygląda bardzo dwuznacznie.

\(\displaystyle{ \sin x - \cos x= \frac{1}{ \sqrt{2} } \ \Big|() ^{2}}\)

A kto i powiedział, że tak wolno? Podnoszenie do kwadratu może generować dodatkowe, fałszywe rozwiązania...

\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{12}+k \pi \ \vee \ x= \frac{5 \pi }{12} +k \pi}\)
I to jest źle, we wszystkich odpowiedziach w internecie wychodzi \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{12} \ i \ \frac{13 \pi }{12}}\).

...i tak dokładnie było w Twoim wypadku. Po pierwsze, zapomniałeś że miałeś rozwiązać to równanie w przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\). Gdybyś o tym pamiętał, zobaczyłbyś, że dostałeś cztery rozwiązania: \(\displaystyle{ \frac{\pi }{12}, \frac{5 \pi }{12}, \frac{13 \pi }{12}, \frac{17 \pi }{12}}\). Ponieważ jednak podnosiłeś do kwadratu, to nie masz pewności, które z nich istotnie są rozwiązaniami. Masz dwa wyjścia:
1) nie podnosić do kwadratu, czyli inaczej rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sin x - \cos x= \frac{1}{ \sqrt{2} }}\);
2) zastosować analizę starożytnych, czyli sprawdzić, które z czterech otrzymanych wyników spełniają wyjściowe równanie.

JK

[Szakul1]

\(\displaystyle{ \sin x - \cos x= \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ \sin x - \sin ( \frac{ \pi }{2}+x)= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ 2\cos (x+ \frac{ \pi }{4}) \cdot \sin - \frac{ \pi }{4}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos x+ \frac{ \pi }{4} = -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{ \pi }{4}= \frac{2}{3} \pi +2k \pi \vee x+\frac{ \pi }{4}= \frac{4}{3} \pi +2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{5}{12} \pi +2k \pi \vee x= \frac{13}{12} \pi +2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{5}{12} \pi ; \frac{13}{12} \pi \right\}}\)
Teraz wychodzi. Wcześniej nie napisałem, bo myślałem, że to od razu widać, że wyniki będzie niepoprawny i chodziło mi o znalezienie błędu w moich obliczeniach.
Jeszcze takie pytanie, dlaczego akurat w tym przypadku podnoszenie do kwadratu generuje dodatkowe rozwiązania, a w innych przypadkach nie? Niektóre równania przecież rozwiązuje się własnie w ten sposób.

[Jan Kraszewski]

Jeszcze takie pytanie, dlaczego akurat w tym przypadku podnoszenie do kwadratu generuje dodatkowe rozwiązania, a w innych przypadkach nie? Niektóre równania przecież rozwiązuje się własnie w ten sposób.

A zastanawiałeś się jakie?

To jest pytanie, kiedy podniesienie obu stron równania do kwadratu jest przejściem równoważnym. Okazuje się, że jest tak wtedy, gdy obie strony równania są tego samego znaku (co oczywiście należałoby uzasadnić). Jeżeli zatem wiesz, że np. obie strony równania są nieujemne, to możesz bezpiecznie podnosić do kwadratu. Ale tak czy inaczej podnosząc do kwadratu ZAWSZE musisz się zastanowić - choćby po to by stwierdzić, czy jest bezpiecznie czy nie.

JK

[a4karo]

To jest pytanie, kiedy podniesienie obu stron równania do kwadratu jest przejściem równoważnym. Okazuje się, że jest tak wtedy, gdy obie strony równania są tego samego znaku (co oczywiście należałoby uzasadnić).

JK

Oj tam.. \(\displaystyle{ -5<-2}\)... Czasem jeszcze o zmianie znaku trzeba pamiętać

[Jan Kraszewski]

Oj tam.. \(\displaystyle{ -5<-2}\)... Czasem jeszcze o zmianie znaku trzeba pamiętać

Oj tam... Zmiana znaku równości? Tak się składa, że w tym wątku mówimy tylko o równaniach.

JK

[a4karo]

Teoretycznie, jak masz RÓWNOŚĆ, gdzie po obu stronach występują wyrazy RÓŻNYCH znaków, to fajnie nie jest

[Jan Kraszewski]

Tak, ale o tym napisałem powyżej...

JK

[Szakul1]

Dobra wszystko jasne. Dziękuję za pomoc.