Cześć! Mam problem z pewnym równaniem.
\(\displaystyle{ \sqrt{2}(\sin x + \cos x) = \tg 4x + \ctg 4x}\)
W jaki sposób sprowadzić to równanie do najprostszej postaci?
Najprostsza postać równania
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Równanie z parametrem niewymiernym
Najpierw dziedzina, potem zauważ, że wartość bezwzględna lewej strony nie przekracza \(\displaystyle{ 2}\), zaś wartość bezwzględna prawej strony jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 2}\). Więc muszą być jakieś tam przypadki równości.
Wsk. \(\displaystyle{ t+\frac{1}{t}\ge 2}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\)
Aha, no i ze Schwarza
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)^2 \le \left( \frac 1 2+\frac 1 2\right) \left( \sin^2 x+\cos^2 x\right)=1}\)
Wsk. \(\displaystyle{ t+\frac{1}{t}\ge 2}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\)
Aha, no i ze Schwarza
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)^2 \le \left( \frac 1 2+\frac 1 2\right) \left( \sin^2 x+\cos^2 x\right)=1}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Najprostsza postać równania
Zauważ że:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\left( \sin x+\cos x\right)=2 \cdot \sin \left( x+ \frac{\pi}{4} \right)}\)
Wynika to z wzory na sinus sumy zastosowany do lewej strony. widać więc że wyrażenie to przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left[ -2,2\right]}\). Teraz można się zastanowić nad \(\displaystyle{ \tg 4x + \ctg 4x}\) o którym można powiedzieć że przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ left( - infty ,2
ight]cupleft[ 2, infty
ight)}\). Więc jedyną opcją jest by jednocześnie prawa i lewa strona były równe \(\displaystyle{ -2}\) lub \(\displaystyle{ 2}\). Co jest niemożliwe bo:
\(\displaystyle{ L=2 \Rightarrow x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ P=2 \Rightarrow x= \frac{ \pi }{16}+ \frac{ \pi k}{4}}\)
Nie ma takiego \(\displaystyle{ k}\) dla którego były by równe te iksy. Podobne rozważania prowadzimy dla \(\displaystyle{ L=P=-2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\left( \sin x+\cos x\right)=2 \cdot \sin \left( x+ \frac{\pi}{4} \right)}\)
Wynika to z wzory na sinus sumy zastosowany do lewej strony. widać więc że wyrażenie to przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left[ -2,2\right]}\). Teraz można się zastanowić nad \(\displaystyle{ \tg 4x + \ctg 4x}\) o którym można powiedzieć że przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ left( - infty ,2
ight]cupleft[ 2, infty
ight)}\). Więc jedyną opcją jest by jednocześnie prawa i lewa strona były równe \(\displaystyle{ -2}\) lub \(\displaystyle{ 2}\). Co jest niemożliwe bo:
\(\displaystyle{ L=2 \Rightarrow x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ P=2 \Rightarrow x= \frac{ \pi }{16}+ \frac{ \pi k}{4}}\)
Nie ma takiego \(\displaystyle{ k}\) dla którego były by równe te iksy. Podobne rozważania prowadzimy dla \(\displaystyle{ L=P=-2}\)