Maksymalna i minimalna wartość funkcji z sin i cos

[ogioz]

Cześć. Mam problem z takim zadaniem.
Wyznacz maksymalną i minimalną wartość funkcji
\(\displaystyle{ f(x)= \sin^3 x \cos3x + \cos^3 x \sin3x -3x}\)
w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle - \frac{ \pi }{16}; \frac{ \pi }{12} \right\rangle}\).
Czy wystarczy samo obliczenie pochodnej i jej miejsc zerowych?

[Premislav]

Nie do końca, ale prawie. Przedział jest domknięty i ograniczony, więc gdzieś tam funkcja przyjmuje wartość największą i najmniejszą, jest ona różniczkowalna na całym przedziale, zatem wystarczy obliczyć miejsca zerowe pochodnej na tym przedziale, obliczyć wartość funkcji w tych miejscach zerowych pochodnej, obliczyć wartość funkcji na krańcach przedziału i wybrać spośród tych wartości funkcji (w punktach zerowania się pierwszej pochodnej i w końcach przedziału) wartość największą i najmniejszą.
Obliczeń nie zazdroszczę.

[a4karo]

Nigdy nie zaszkodzi trochę pokombinować:
\(\displaystyle{ \sin^3 x \cos3x + \cos^3 x \sin3x\\
=(1-\cos^2x)\sin x\cos3x+\cos^3x\sin 3x\\
=\sin x\cos3x +\cos^2x(\cos x\sin3x-\sin x\cos 3x)\\
=\sin x\cos3x+\cos^2x\sin(3x-x)=\sin x\cos3x+2\sin x\cos^3x\\
=\sin x(\cos3x+2\cos^3x)=\sin x(\cos^3x-3\sin^2x\cos x+2\cos^3x)\\
=3\sin x\cos x(\cos^2x-\sin^2x)\\
=\frac{3}{4}\sin 4x}\)

Zatem \(\displaystyle{ f(x)=\frac{3}{4}\sin 4x-3x}\) i łatwo pokażesz, że jest ona malejąca w całym przedziale, więc osiąga ekstrema na końcach.