Udowodnij nierówność

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
yolo123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 3 lut 2018, o 21:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Udowodnij nierówność

Post autor: yolo123 »

\(\displaystyle{ \tg x > x+ \frac{x^3}{3}, x\in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\)
Ostatnio zmieniony 3 lut 2018, o 21:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Udowodnij nierówność

Post autor: bartek118 »

Wykorzystaj twierdzenie Taylora.
yolo123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 3 lut 2018, o 21:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Udowodnij nierówność

Post autor: yolo123 »

A jak ono brzmi?
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Udowodnij nierówność

Post autor: bartek118 »

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r
... ie_Taylora
yolo123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 3 lut 2018, o 21:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Re: Udowodnij nierówność

Post autor: yolo123 »

I z tego wzoru mam rozwinąć tangens, tak?
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Udowodnij nierówność

Post autor: bartek118 »

Tak
yolo123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 3 lut 2018, o 21:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Re: Udowodnij nierówność

Post autor: yolo123 »

czyli mam \(\displaystyle{ 0+x+0+ \frac{x^3}{3}+r(x)>x+ \frac{x^3}{3}}\)
i wiemy, że ta reszta większa od zera, tak?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Udowodnij nierówność

Post autor: Premislav »

Nie do końca, właśnie masz uzasadnić, że reszta jest większa od zera (choć to proste).
yolo123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 3 lut 2018, o 21:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Re: Udowodnij nierówność

Post autor: yolo123 »

W jaki sposób mam to uzasadnić, licząc dalsze pochodne?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Udowodnij nierówność

Post autor: Premislav »

W zasadzie tak. Konkretnie, możesz wykorzystać wzór Taylora z resztą w postaci Lagrange'a.
Ta reszta będzie postaci \(\displaystyle{ \frac{x^4}{4!}\cdot f^{(IV)}(c)}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest pewnym punktem pośrednim między \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ x}\), zaś \(\displaystyle{ f^{(IV)}(\cdot)}\) to czwarta pochodna funkcji tangens. Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\), to także \(\displaystyle{ c \in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Udowodnij nierówność

Post autor: a4karo »

I na szczęście ta czwarta pochodna jest dodatnia
ODPOWIEDZ