Udowodnij nierówność
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 3 lut 2018, o 21:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Udowodnij nierówność
\(\displaystyle{ \tg x > x+ \frac{x^3}{3}, x\in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\)
Ostatnio zmieniony 3 lut 2018, o 21:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 3 lut 2018, o 21:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Re: Udowodnij nierówność
czyli mam \(\displaystyle{ 0+x+0+ \frac{x^3}{3}+r(x)>x+ \frac{x^3}{3}}\)
i wiemy, że ta reszta większa od zera, tak?
i wiemy, że ta reszta większa od zera, tak?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Udowodnij nierówność
W zasadzie tak. Konkretnie, możesz wykorzystać wzór Taylora z resztą w postaci Lagrange'a.
Ta reszta będzie postaci \(\displaystyle{ \frac{x^4}{4!}\cdot f^{(IV)}(c)}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest pewnym punktem pośrednim między \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ x}\), zaś \(\displaystyle{ f^{(IV)}(\cdot)}\) to czwarta pochodna funkcji tangens. Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\), to także \(\displaystyle{ c \in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\).
Ta reszta będzie postaci \(\displaystyle{ \frac{x^4}{4!}\cdot f^{(IV)}(c)}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest pewnym punktem pośrednim między \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ x}\), zaś \(\displaystyle{ f^{(IV)}(\cdot)}\) to czwarta pochodna funkcji tangens. Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\), to także \(\displaystyle{ c \in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\).