Nierówność trygonometryczna

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Nierówność trygonometryczna

Post autor: 85213 » 24 sty 2018, o 20:17

Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N ^{+}}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left )|\cos(n \alpha)-\cos(n \beta ) \right| \le n ^{2}\left|\cos( \alpha )-\cos( \beta ) \right|}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in R}\)
Ze wzorów na różnice cosinusów doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ \left| \sin \frac{n( \alpha + \beta)}{2} \right| \cdot \left| \sin \frac{n( \alpha - \beta }{2} )\right| \le n \left| \sin\frac{\alpha + \beta }{2} \right|n\left| \sin \frac{ \alpha - \beta }{2} \right|}\)
Co z tym zrobić, żeby jasno wynikało, że nierówność jest prawdziwa?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17381
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2928 razy

Re: Nierówność trygonometryczna

Post autor: a4karo » 24 sty 2018, o 20:39

A potrafisz uzasadnić tę nierówność, z której skorzystałeś, tzn że \(\displaystyle{ |\sin nx|\leq n|\sin x|}\) ?

Bo jak to zrobisz, to ze wzoru na różnicę kosinusów wyniknie teza.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14450
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 4757 razy

Re: Nierówność trygonometryczna

Post autor: Premislav » 24 sty 2018, o 20:48

21115.htm

85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Nierówność trygonometryczna

Post autor: 85213 » 24 sty 2018, o 21:05

a4karo pisze:A potrafisz uzasadnić tę nierówność, z której skorzystałeś, tzn że \(\displaystyle{ |\sin nx|\leq n|\sin x|}\) ?

Bo jak to zrobisz, to ze wzoru na różnicę kosinusów wyniknie teza.
Właśnie problem polega na tym, że nie wiem jak to udowodnić.
Dzięki Premislav.

ODPOWIEDZ