rozwiąż równanie

[magda2210]

Rozwiązywałam równanie \(\displaystyle{ \cos x - \sqrt{3} \sin x = 1}\)
Po zastosowanie wzorów i podstawieniu \(\displaystyle{ t = \tan\frac{x}{2}}\) w jednym z przypadków wyszło mi \(\displaystyle{ t = - \sqrt{3}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \tan\frac{x}{2}= - \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{2}= - \frac{2}{3}\pi + k\pi}\)
\(\displaystyle{ x= - \frac{4}{3}\pi + 2k\pi}\)
Natomiast w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ x= - \frac{2}{3}\pi + 2k\pi}\)
Gdzie robię błąd?

[scyth]

Przypuszczam, że przy gdzieś przy zastosowaniu wzorów i podstawieniu, bo np. rozwiązanie x=0 nie jest uwzględnione w Twoim rozumowaniu.

[magda2210]

Wyraźnie napisałam, ze w jednym z przypadków wyszedł mi taki wynik i właśnie w tym przypadku nie zgadza się odpowiedź. Gdy t wyszło 0 to odpowiedź się zgadza.

[scyth]

Cieżko mi powiedzieć gdzie jest błąd nie widząc rachunków. Ale mogę Ci zaproponować rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \cos x=2 \cos \frac{\pi}{3} \cos x \\
\sqrt{3} \sin x=2 \sin \frac{\pi}{3} \sin x \\
2 \cos \left(\frac{\pi}{3} + x\right)=1}\)

[magda2210]

Ja to robiłam w ten sposób:
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}}\)

\(\displaystyle{ \cos x = \frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{x}}}\)

\(\displaystyle{ \tan\frac{x}{2} = t}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{2\sqrt{3}t}{1+t^2}=1}\)

\(\displaystyle{ -t(2t+\sqrt{3})=0}\)

\(\displaystyle{ t =0 t = -\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ \tan\frac{x}{2}=0\iff \frac{x}{2}=k\pi\iff x=2k\pi}\)

Dalej jest to, co napisałam na początku postu.
Z góry dziękuję za odpowiedź i fatygę.

[scyth]

No przepraszam, już widzę błąd:

\(\displaystyle{ \tan\frac{x}{2}= - \sqrt{3} \\
\frac{x}{2}= - \frac{2}{3}\pi + k\pi}\)

A nie powinno być czasem \(\displaystyle{ \frac{x}{2}= - \frac{\pi}{3} + k\pi}\)?

[magda2210]

no i wszystko się zgadza
Dziękuję bardzo serdecznie