Rozw. nierówności trygonometrycznych przez podstawienie

[Asmox]

Ponieważ miejsce na temat było ograniczone, chciałbym dodać pewne słowa kluczowe, które być może naprowadzą innych ludzi których by nurtował ten sam problem. Czy można rozwiązywać nierówności trygonometryczne stosując podstawienie z przejściem do nierówności wielomianowej?

Chodzi o zadanie z jednej z matur rozszerzonych. Rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{2\cos \left( x \right) - \sqrt{3} }{\cos ^2 \left( x \right) } < 0}\) w przedziale \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, 2\pi \right\rangle}\)

Po określeniu dziedziny \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, 2\pi \right\rangle \setminus \left\{ \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi \right\}}\) mnożę obie strony równania przez \(\displaystyle{ \cos ^2 \left( x \right) >0}\), czyli nie zmieniając znaku nierówności. Otrzymuję:
\(\displaystyle{ \left( 2\cos \left( x \right) - \sqrt {3} \right) \cos ^2 \left( x \right) < 0}\)
Stosuję podstawienie:
\(\displaystyle{ t = \cos \left( x \right) , t \in \left\langle -1, 1 \right\rangle}\)
Otrzymuję:
\(\displaystyle{ \left( 2t - \sqrt{3} \right) t^2 < 0}\)
Analizując wielomian otrzymuję:
\(\displaystyle{ t < 0 \vee 0 < t < \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Uwzględniając dziedzinę zmiennej t:
\(\displaystyle{ -1 \le t < 0 \vee 0 < t < \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Wracając do cosinusa:
\(\displaystyle{ -1 \le \cos \left( x \right) < 0 \vee 0 < \cos \left( x \right) < \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Stąd otrzymuję 2 przedziały:
\(\displaystyle{ x \in \left\langle\pi, \frac{3}{2} \pi \right) \vee x \in \left( \frac{3}{2} \pi, \frac{11}{6} \pi \right)}\)

Problem polega na tym, że rozwiązanie jest niepełne, gdyż według rozwiązań CKE pierwszy przedział powinien być szerszy tzn. \(\displaystyle{ x \in \left( \frac{\pi}{6}, \frac{3}{2} \pi \right) \setminus \left\{ \frac{\pi}{2}\right\}}\)

Wygląda więc na to, że wykonałem gdzieś pewne błędne przekształcenie, przez co zgubiłem część rozwiązań. Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, gdzie jest błąd? (Tak wiem, że można to zadanie wykonać inaczej, analizując znak licznika)

[Belf]

Ponieważ miejsce na temat było ograniczone, chciałbym dodać pewne słowa kluczowe, które być może naprowadzą innych ludzi których by nurtował ten sam problem. Czy można rozwiązywać nierówności trygonometryczne stosując podstawienie z przejściem do nierówności wielomianowej?

Chodzi o zadanie z jednej z matur rozszerzonych. Rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{2cos(x)- \sqrt{3} }{cos^2(x)} < 0}\) w przedziale \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, 2\pi \right\rangle}\)

Po określeniu dziedziny \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, 2\pi \right\rangle \setminus \left\{ \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi \right\}}\) mnożę obie strony równania przez \(\displaystyle{ cos^2(x) >0}\), czyli nie zmieniając znaku nierówności. Otrzymuję:
\(\displaystyle{ (2cos(x) - \sqrt {3}) cos^2(x) < 0}\)
Stosuję podstawienie:
\(\displaystyle{ t = cos(x), t \in <-1, 1>}\)
Otrzymuję:
\(\displaystyle{ (t - \sqrt{3})t^2 < 0}\)

Powinno być:\(\displaystyle{ (2t- \sqrt{3})\cdot t^2 < 0}\)

[Asmox]

Masz rację, poprawiłem już, choć była to "literówka". Po prostu źle przepisałem zadanie. Natomiast wydaje mi się, że moja metoda w którymś miejscu jest błędna. Nie chodzi o zwykły błąd w obliczeniach.

[a4karo]

Uwzględniając dziedzinę zmiennej \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ -1 \le t < 0 \vee 0 < t < \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Wracając do cosinusa:
\(\displaystyle{ -1 \le cos(x) < 0 \vee 0 < cos(x) < \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Stąd otrzymuję 2 przedziały:
\(\displaystyle{ {\red x \in <\pi, \frac{3}{2} \pi) \vee x \in (\frac{3}{2} \pi, \frac{11}{6} \pi)}}\)

Przeanalizuj ten kawałek. Najlepiej narysuj wykres kosinusa oraz prostej \(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\).

[Asmox]

Faktycznie, już widzę. Mój błąd polegał na tym, że wydawało mi się że \(\displaystyle{ \cos (x)}\) musi rosnąć od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 0}\) i stąd miałem źle wyznaczony pierwszy przedział. Dziękuję za pomoc, temat do zamknięcia.