Równanie trygonometryczne

[vital]

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x}\) spelniajace równanie \(\displaystyle{ 2\sin ^{2}x- \cos 2x=1}\). Oblicz sumę wszystkich rozwiązań tego równania należących do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0,32 \pi \right\rangle}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=1-2\sin^2 x}\) i dalej pewnie sobie poradzisz.

[vital]

Nie wiem jak to zsumować w takim dużym przedziale

[Premislav]

Przecież to nie ma znaczenia, że przedział jest duży, ponieważ w rozwiązaniach ujawnia się pewna regularność, która wynika z okresowości sinusa. Otrzymasz kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego o różnicy równej \(\displaystyle{ \frac \pi 2}\).

Właściwie wzór, który napisałem, lepiej wykorzystać w drugą stronę:
zachodzi \(\displaystyle{ 1-2\sin^2 x=\cos 2x}\), więc równanie sprowadza się do \(\displaystyle{ 2\cos 2x=0}\), czyli \(\displaystyle{ \cos 2x=0}\).

[Richard del Ferro]

Czy autor postu zna podstawowe tożsamości trygonometryczne?

\(\displaystyle{ \cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}\)

\(\displaystyle{ 2\sin ^{2}x+\sin ^{2}x-\cos ^{2}x=1}\)

\(\displaystyle{ 3\sin ^{2}x-\cos ^{2}x=1}\)

\(\displaystyle{ \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x}\)

\(\displaystyle{ 3\sin ^{2}x+\sin ^{2}x-1=1}\)

\(\displaystyle{ 4\sin ^{2}x-2=0}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2}x= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin x= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \sin x= \frac{- \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin x=\sin \frac{ \pi }{4}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \sin x=\sin \frac{- \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4} + 2k \pi= \left( \frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{17\pi}{4} ... \right)}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{3 \pi }{4} + 2k \pi= \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, \frac{19\pi}{4} ... \right)}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{- \pi }{4} +2k \pi= \left( \frac{-\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{15\pi}{4} ... \right)}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{5 \pi }{4} +2k \pi= \left( \frac{5\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}, \frac{21\pi}{4} ... \right)}\)

Zauwaz, że

\(\displaystyle{ \pi k+ \frac{ \pi }{4} = \left( \frac{ \pi }{4} , \frac{5 \pi }{4} , \frac{9 \pi }{4} ... \right)}\) <--- tak zwijają się pierwsze i ostatnie rozwiązanie
\(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{4} + \pi k = \left( \frac{3 \pi }{4} , \frac{7 \pi }{4} , \frac{11 \pi }{4} ... \right)}\) <---tak zwijają się drugie i trzecie rozwiązanie

Czyli ostatnie nasze rozwiązania są postaci

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} +k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \frac{- \pi }{4} +k \pi}\)

Oczywisce pisze to dla takich rozwiązań, które sa dodatnie, bo są tez ujemne

Tu podam rozwiązanie, chciałbym abys sprwadził je po samodzielnym wykonaniu zadania

Ukryta treść:    

Otrzymaliśmy dwa ciągi arytmetyczne o różnicy \(\displaystyle{ \pi}\) oraz \(\displaystyle{ a1= \frac{ \pi }{4}}\) oraz \(\displaystyle{ a2= \frac{3 \pi }{4}}\)
Zauwaz, że \(\displaystyle{ 32 \pi = \frac{128 \pi }{4}}\), to będzie nasza granica, której nie możemy przekroczyć.
Sprawdźmy sobie jak będą wyglądały ostatnie wyrazy naszych ciagów \(\displaystyle{ {a1}}\) oraz \(\displaystyle{ {a2}}\)
\(\displaystyle{ an1=\frac{ \pi }{4} +n \pi}\)
\(\displaystyle{ an2=\frac{3 \pi }{4} +n \pi}\)

\(\displaystyle{ n=31}\) daje w pierwszym \(\displaystyle{ a31= \frac{ \pi }{4} +31 \pi}\)
\(\displaystyle{ n=31}\) w drugim daje \(\displaystyle{ a31=31 \pi + \frac{ 3\pi }{4}}\)

Wzór na sumę ciągu arytmetycznego to \(\displaystyle{ S= \frac{a1+an}{2} \cdot n}\)

Wstawiając mamy

\(\displaystyle{ S1= \frac{ \frac{ \pi }{4} +\frac{ \pi }{4} +31 \pi}{2} \cdot 31}\)

\(\displaystyle{ S2= \frac{ \frac{3 \pi }{4} + 31 \pi + \frac{ 3\pi }{4}}{2} \cdot 31}\)

\(\displaystyle{ S1= \frac{ 31\pi }{4} + \frac{961 \pi }{2}}\)

\(\displaystyle{ S2= \frac{31 \pi + \frac{ 6\pi }{4} }{2} \cdot 31}\)

\(\displaystyle{ S2= \frac{961 \pi }{2} + \frac{93}{4} \pi}\)

\(\displaystyle{ S1+S2= 961 \pi + 31 \pi =992 \pi}\)