Zbiór wartości funkcji

[TrooM]

Próbowałem ustalić zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) =\cos x-\sin x}\).
Aby znaleźć wartość max i min, potraktowałem to wyrażenie jako równanie, przyrównałem do zera i spotęgowałem obustronnie. \(\displaystyle{ \sin ^{2}x}\) podstawiłem za \(\displaystyle{ t}\).
Otrzymałem równanie \(\displaystyle{ -t^{2}-t-\frac{1}{4}=0}\).
Z czego wynika, że:
\(\displaystyle{ f \left( t_{\min } \right) =-\frac14 \\
f \left( t_{\max } \right) =0}\)

Żadna z tych wartości nie daje mi prawidłowego zbioru wartości \(\displaystyle{ \left\langle -\sqrt{2};\sqrt{2} \right\rangle \setminus \lbrace -1 ; 1 \rbrace}\)
Czy tym tokiem rozumowania w jakiś sposób mogę dojść do ustalenia zbioru wartości wyjściowej funkcji?
Ponadto, jak stwierdzić, że \(\displaystyle{ -1 ; 1}\) nie należą do zbioru wartości?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \cos x-\sin x=\sin \left( \frac \pi 2-x\right) -\sin x=2\sin \left( \frac{ \frac \pi 2-2x}{2} \right) \cos\left(\frac \pi 4 \right) =\sqrt{2}\sin \left( \frac \pi 4-x \right)}\);
jakie wartości może przyjmować sinus (dla rzeczywistych argumentów)?

[TrooM]

Oczywiście od \(\displaystyle{ \left\langle -1;1 \right\rangle}\).

[Janusz Tracz]

Aby znaleźć wartość max i min, potraktowałem to wyrażenie jako równanie, przyrównałem do zera

Ale dlaczego do zera? W ogóle dlaczego traktujesz to jak równanie skoro to nie jest równanie tylko funkcja.
Proponuję zauważyć wzór
\(\displaystyle{ \cos x-\sin x= \sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4}-x \right)}\)
Łatwo go udowodnić za pomocą wzorów na sinus różnicy.
To załatwi zadanie jako że \(\displaystyle{ \sin t\in\left[ -1,1\right]}\) dlatego \(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin t\in\left[ - \sqrt{2}, \sqrt{2} \right]}\) czyli \(\displaystyle{ \cos x-\sin x \in\left[ - \sqrt{2}, \sqrt{2} \right]}\)

Żadna z tych wartości nie daje mi prawidłowego zbioru wartości \(\displaystyle{ <-\sqrt{2};\sqrt{2}> \setminus \lbrace -1 ;
1 \rbrace}\)

Ten zbiór też nie jest poprawny.

Ponadto, jak stwierdzić, że -1 ; 1 nie należą do zbioru wartości?

To nie prawda dla \(\displaystyle{ x=0}\) dostaniesz \(\displaystyle{ f(0)=1}\)

[TrooM]

Serdecznie dziękuję za pomoc. Zastanawiałem się, czy da się to objeść bez zamiany \(\displaystyle{ \cos x-\sin x =\sin \left( \frac \pi 2-x\right) -\sin x}\), gdyż początkowo jak podejmowałem to zadanie, ta zamiana była mi obca i zupełnie jej nie zauważyłem.

[Janusz Tracz]

Obejściem sposobu Przemka może być to co napisałem

\(\displaystyle{ \cos x-\sin x= \sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4}-x \right)}\)
Łatwo go udowodnić za pomocą wzorów na sinus różnicy.

\(\displaystyle{ \cos x-\sin x= \sqrt{2}\left(\sin \frac{\pi}{4} \cos x-\cos \frac{\pi}{4} \sin x \right) = \sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4}-x \right)}\)

[Premislav]

To jest jeden z podstawowych wzorów redukcyjnych:
\(\displaystyle{ \cos x=\sin\left( \frac \pi 2-x\right)}\), naprawdę warto go znać, a poza tym można tę własność zauważyć, patrząc na wykres funkcji sinus i cosinus.

Ale oczywiście można sobie poradzić bez tego, tylko nie wiem po co.
Jeśli
\(\displaystyle{ f(x)=\cos x-\sin x}\), to \(\displaystyle{ f'(x)=-\sin x-\cos x}\), więc
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow -\sin x-\cos x=0 \Leftrightarrow \tg x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k\pi}\)
Ponadto \(\displaystyle{ f'(x)}\) istnieje oczywiście dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Zatem wszystkie możliwe ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ f}\) są punktami postaci \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}+k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\).
Ponadto z okresowości funkcji sinus i cosinus wynika, że\(\displaystyle{ f(x+2k\pi)=f(x)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego. Dalej można sprawdzić np. \(\displaystyle{ f\left( -\frac \pi 4\right) =\sqrt{2}, \ f(\left( \frac 3 4\pi\right) =-\sqrt{2}}\) oraz skonstatować, że w punkcie \(\displaystyle{ -\frac \pi 4}\) pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, zaś w punkcie \(\displaystyle{ \frac{3}{4}\pi}\) – z ujemnego na dodatni, więc w tym pierwszym punkcie mamy lokalne maksimum, a w tym drugim – lokalne minimum;
no i na koniec warto użyć tw. Darboux: \(\displaystyle{ \cos x}\) ciągła, \(\displaystyle{ \sin x}\) ciągła, stąd i \(\displaystyle{ f(x)=\cos x-\sin x}\) jest funkcją ciągłą, ma więc własność Darboux, czyli skoro osiąga wartość \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i wartość \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\), to przyjmuje dowolne wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left[ -\sqrt{2}, \ \sqrt{2}\right]}\). Innych już nie przyjmie, gdyż (to trzeba wyliczyć, nierówność trygonometryczna \(\displaystyle{ -\sin x-\cos x>0}\) itd.) \(\displaystyle{ f'(x)}\) jest ujemna w \(\displaystyle{ \left( -\frac \pi 4;\frac 3 4\pi\right)}\), dodatnia w \(\displaystyle{ \left( \frac 3 4 \pi ;\frac 7 4\pi\right)}\) i \(\displaystyle{ f\left( \frac 7 4\pi\right) =f\left( -\frac \pi 4\right) =\sqrt{2}}\), bo jak stwierdziliśmy \(\displaystyle{ f(x+2k\pi)=f(x)}\). Z tej okresowości też wynika, że zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) dla
\(\displaystyle{ \left[ -\frac\pi 4; \frac{7}{4}\pi\right]}\) jest równy „całemu" zbiorowi wartości \(\displaystyle{ f}\).

[a4karo]

Mogłeś również zbadać maksymalną i minimalną wartość wyrażenia \(\displaystyle{ t-\sqrt{1-t^2}}\) i \(\displaystyle{ t+\sqrt{1-t^2}}\) dla \(\displaystyle{ -1\leq t\leq 1}\)