Zmienne x nie tylko w argumencie

[VirtualUser]

Witam, czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć jak rozwiązywać nierówności takie jak te?

\(\displaystyle{ \sin(x)> \frac{3 \sqrt{2} }{\pi}x}\)
\(\displaystyle{ \sin(x)> \frac{2 }{\log(11)}x}\)

[szw1710]

Masz tu nierówność typu \(\displaystyle{ \sin x>\alpha x.}\) Narysuj kilka wykresów z różnymi stałymi \(\displaystyle{ \alpha}\). Nie ma metody podobnej do szkolnej tak jak to robimy z nierównościami wielomianowymi, wymiernymi czy logarytmicznymi. Tu należy bardziej opierać się na własnościach występujących w nierówności funkcji. Czyli aparat analizy matematycznej.

[Premislav]

Ta pierwsza nierówność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x<0}\), gdyż z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\) nietrudno wywnioskować, że \(\displaystyle{ |\sin t|\le |t|}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ t \in \RR}\), a tymczasem \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{2}}{\pi}>1}\), więc
gdy \(\displaystyle{ x>0}\), to \(\displaystyle{ \sin x \le |\sin x|\le |x|=x<\frac{3\sqrt{2}}{\pi}x}\), a gdy
\(\displaystyle{ x<0}\), to \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{2}}{\pi}x<x=-|x|\le -|\sin x|\le\sin x}\).
Dla \(\displaystyle{ x=0}\) oczywiście mamy równość.

Druga nierówność pewnie idzie analogicznie.

[VirtualUser]

Dziękuję wam, rozjaśniliście mi temat.