Trygonometria z parametrem

[XYZmat]

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla których równanie \(\displaystyle{ (\cos x\ +a)(\sin^2x-a)=0}\) ma w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0;2 \pi \right\rangle}\) dokładnie trzy różne rozwiązania.

Czy ma ktoś na to lepszy pomysł niż dyskusja liczby rozwiązań w różnych przedziałach parametru \(\displaystyle{ a}\) ? Może jakieś konkretne warunki spełniające te zadanie?

[PoweredDragon]

Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ a < 0}\), równanie \(\displaystyle{ \cos x = -a}\) musiałoby mieć trzy rozwiązania co jest niemożliwe w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0; 2 \pi\right\rangle}\), skąd \(\displaystyle{ a \ge 0}\).
Ponadto dla \(\displaystyle{ a = 0}\) mamy \(\displaystyle{ \cos x \sin^2 x = 0}\), skąd \(\displaystyle{ \cos x = 0 \vee \sin x = 0}\), a to ma pięć rozwiązań \(\displaystyle{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi, 3\frac{\pi}{2}, 2 \pi}\), skąd \(\displaystyle{ a > 0}\)
Przede wszystkim w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0; 2 \pi \right\rangle}\) istnieją dokładnie dwa argumenty \(\displaystyle{ x_1}\), \(\displaystyle{ x_2}\) takie, że \(\displaystyle{ \cos x_1 = \cos x_2}\) poza wartością \(\displaystyle{ \cos x = -1}\). Z racji na fakt, że \(\displaystyle{ (\sin^2 x - a)}\) pociąga za sobą dokładnie dwa rozwiązania postaci \(\displaystyle{ t = \sin x}\), a zatem przynajmniej dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x}\), toteż \(\displaystyle{ \cos x = -a}\) może posiadać tylko jedno rozwiązanie, a tak dzieje się tylko dla \(\displaystyle{ a = 1}\), dla którego warunek zadania jest spełniony. Jest to zatem jedyna odpowiedź.

[a4karo]

Dla \(\displaystyle{ 0<a<1}\) równanie \(\displaystyle{ \sin^2x=a}\) ma cztery rozwiązania w danym przedziale...

[PoweredDragon]

Odniosłem się do tego. Czy jest to jakiś komntarz do mojego rozwiązania czy ogólna uwaga?

[a4karo]

Alternatywa